Как найти длину средней линии прямоугольного треугольника. Средняя линия треугольника

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

На рисунке 1 показаны два треугольника. Треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1. И прилежащие стороны пропорциональны, то есть AB относится к A1B1 также как AC относится к A1C1. Их этих двух условий и следует подобие треугольников.

Как найти среднюю линию треугольника — признак параллельности прямых

На рисунке 2 показаны прямые a и b, секущая c. При этом образуются 8 углов. Углы 1 и 5 соответственные, если прямые параллельны, то соответственные углы равны, и наоборот.

Как найти среднюю линию треугольника

На рисунке 3, M середина AB, а N середина AC, BC основание. Отрезок MN — называется средней линии треугольника. Сама же теорема гласит — Средняя линия треугольника параллельная основанию и равна его половине.

Для того чтобы доказать, что MN — средняя линия треугольника, нам понадобится второй признак подобия треугольников и признак параллельности прямых.

Треугольник AMN подобен треугольнику ABC, по второму признаку. В подобных треугольниках соответственные углы равны, угол 1 равен углу 2, а эти углы являются соответственными при пересечении двух прямых секущей, следовательно, прямые параллельны, MN параллельно BC. Угол A общий, AM/AB = AN/AC = ½

Коэффициент подобия этих треугольников ½, из этого следует что ½ = MN/BC, MN = ½ BC


Вот мы и нашли среднюю линию треугольника, и доказали теорему о средней линии треугольника, если вам до сих пор не понятно, как найти среднюю линию, смотрите видео ниже.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины 2-х его сторон. Соответственно, каждого у треугольника три средних линии. Зная качество средней линии, а также длины сторон треугольника и его углы, дозволено обнаружить длину средней линии.

Вам понадобится

• Стороны треугольника, углы треугольника

Инструкция

1. Пускай в треугольнике ABC MN — средняя линия, соединяющая середины сторон AB (точка M) и AC (точка N).По свойству средняя линия треугольника, соединяющая середины 2-х сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, средняя линия MN будет параллельна стороне BC и равна BC/2.Следственно, для определения длины средней линии треугольника довольно знать длину стороны именно этой третьей стороны.

2. Пускай сейчас вестимы стороны, середины которых соединяет средняя линия MN, то есть AB и AC, а также угол BAC между ними. Потому что MN — средняя линия, то AM = AB/2, а AN = AC/2.Тогда по теореме косинусов объективно: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM*AN*cos(BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Отсель, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Если знамениты стороны AB и AC, то среднюю линию MN дозволено обнаружить, зная угол ABC либо ACB. Пускай, скажем, знаменит угол ABC. Потому что по свойству средней линии MN параллельна BC, то углы ABC и AMN — соответствующие, и, следственно, ABC = AMN. Тогда по теореме косинусов: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Следственно, сторону MN дозволено обнаружить из квадратного уравнения (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

Квадратный треугольник больше верно именуется прямоугольным треугольником. Соотношения между сторонами и углами этой геометрической фигуры детально рассматриваются в математической дисциплине тригонометрии.

Вам понадобится

• — лист бумаги;
• — ручка;
• — таблицы Брадиса;
• — калькулятор.

Инструкция

1. Обнаружьте сторону прямоугольного треугольника с поддержкой теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с2 = a2+b2 , где с – гипотенуза треугольника , a и b – его катеты. Дабы применить это уравнение, надобно знать длину всяких 2-х сторон прямоугольного треугольника .

2. Если по условиям заданы размеры катетов, разыщите длину гипотенузы. Для этого с поддержкой калькулятора извлеките квадратный корень из суммы катетов, всякий из которых заранее возведите в квадрат.

3. Вычислите длину одного из катетов, если вестимы размеры гипотенузы и иного катета. При помощи калькулятора извлеките квадратный корень из разности гипотенузы в квадрате и вестимого катета, также возведенного в квадрат.

4. Если в задаче заданы гипотенуза и один из прилежащих к ней острых углов, используйте таблицы Брадиса. В них приведены значения тригонометрических функций для большого числа углов. Воспользуйтесь калькулятором с функциями синуса и косинуса, а также теоремами тригонометрии, которые описывают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника .

5. Обнаружьте катеты при помощи основных тригонометрических функций: a = c*sin ?, b = c*cos ?, где а – катет, противолежащий к углу?, b – катет, прилежащий к углу?. Сходственным образом посчитайте размер сторон треугольника , если заданы гипотенуза и иной острый угол: b = c*sin ?, a = c*cos ?, где b – катет, противолежащий к углу?, а – катет, прилежащий к углу?.

6. В случае, когда вестим катет a и прилежащий к нему острый угол?, не забывайте, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов неизменно равна 90°: ? + ? = 90°. Разыщите значение угла, противолежащего к катету а: ? = 90° – ?. Либо воспользуйтесь тригонометрическими формулами приведения: sin ? = sin (90° – ?) = cos ?; tg ? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg ?.

7. Если вестим катет а и противолежащий к нему острый угол?, при помощи таблиц Брадиса, калькулятора и тригонометрических функций вычислите гипотенузу по формуле: c=a*sin ?, катет: b=a*tg ?.

Видео по теме

Понятие средней линии треугольника

Введем понятие средней линии треугольника.

Определение 1

Это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (Рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия треугольника

Теорема о средней линии треугольника

Теорема 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. $MN$ - средняя линия (как на рисунке 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Так как $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$, то треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Значит

Также, отсюда следует, что $\angle A=\angle BMN$, значит $MN||AC$.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о средней линии треугольника

Следствие 1: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 3).

Рисунок 3. Иллюстрация следствия 1

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Следствие 2: Три средние линии треугольника делят его на 4 треугольника, подобных исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$ со средними линиями $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация следствия 2

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C$. Так как $A_1B_1$ - средняя линия, то

Угол $C$ - общий угол этих треугольников. Следовательно, треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Аналогично доказывается, что треугольники $A_1C_1B$ и $ABC$, и треугольники $C_1B_1A$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Так как $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ -- средние линии треугольника, то

Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников, треугольники $A_1B_1C_1$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Теорема доказана.

Примеры задачи на понятие средней линии треугольника

Пример 1

Дан треугольник со сторонами $16$ см, $10$ см и $14$ см. Найти периметр треугольника , вершины которого лежат в серединах сторон данного треугольника.

Решение.

Так как вершины искомого треугольника лежат в серединах сторон данного треугольника, то его стороны -- средние линии исходного треугольника. По следствию 2, получим, что стороны искомого треугольника равны $8$ см, $5$ см и $7$ см.

Ответ: $20$ см.

Пример 2

Дан треугольник $ABC$. Точки $N\ и\ M$ -- середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно (Рис. 5).

Рисунок 5.

Периметр треугольника $BMN=14$ см. Найти периметр треугольника $ABC$.

Решение.

Так как $N\ и\ M$ -- середины сторон $BC$ и $AB$, то $MN$ -- средняя линия. Значит

По теореме 1, $AC=2MN$. Получаем:

1 Дополнительное построение, ведущее к теореме о средней линии треугольника, трапеции и свойствам подобия треугольников.

И она равна половине гипотенузы .
Следствие 1.
Следствие 2.

Отсюда видно, что

1 Все прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом - подобны. Взгляд на тригонометрические функции.

Треугольники со сторонами штрихованными и с не штрихованными подобны по равенству двух углов. Поэтому откуда

Это значит, что указанные отношения зависят лишь от острого угла прямоугольного треугольника и по сути определяют его. Это одно из оснований появления тригонометрических функций:

Часто запись тригонометрических функций угла в подобных прямоугольных треугольниках наглядней записи соотношений подобия!

Опустим на гипотенузу AB высоту CH. Имеем три подобных треугольника ABC, AHC и CHB. Запишем выражения для тригонометрических функций:

Отсюда видно, что . Складывая, получаем теорему Пифагора, поскольку :

Другое доказательство теоремы Пифагора см.в комментарии к задаче 4.
3 Важный пример дополнительного построения – построение угла, равного одному из углов треугольника.

Проводим из вершины прямого угла отрезок прямой, составляющий с катетом CA угол, равный углу CAB заданного прямоугольного треугольника ABC. В результате получим равнобедренный треугольник ACM с углами при основании . Но другой треугольник, получающийся при таком построении, также будет равнобедренным, поскольку каждый его угол при основании равен (по свойству углов прямоугольного треугольника и по построению - из прямого угла «вычли» угол ). В силу того, что треугольники BMC и AMC равнобедренные с общей стороной MC имеем равенство MB=MA=MC, т.е. MC – медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника , и она равна половине гипотенузы .
Следствие 1. Середина гипотенузы является центром окружности, описанной вокруг этого треугольника, поскольку получилось, что середина гипотенузы равноудалена от вершин прямоугольного треугольника.
Следствие 2. Средняя линия прямоугольного треугольника, соединяющая середину гипотенузы и середину катета, параллельна противоположному катету и равна его половине.

Опустим в равнобедренных треугольниках BMC и AMC высоты MH и MG на основания. Поскольку в равнобедренном треугольнике, высота, опущенная на основание, является также и медианой (и биссектрисой), то MH и MG –линии прямоугольного треугольника, соединяющие середину гипотенузы с серединами катетов. По построению они оказываются параллельными противоположным катетам и равные их половинам, поскольку треугольники равны MHC и MGC равны (причем MHCG – прямоугольник). Этот результат является основанием для доказательства теоремы о средней линии произвольного треугольника и, далее, средней линии трапеции и свойства пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на двух пересекающих их прямых.

Задачи
Использование свойств подобия -1
Использование основных свойств - 2
Использование дополнительного построения 3-4

1 2 3 4

Высота, опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна корню квадратном из длин отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Решение представляется очевидным, если знать вывод теоремы Пифагора из подобия треугольников:

\(\mathrm{tg}\beta=\frac{h}{c_1}=\frac{c_2}{h}\),
откуда \(h^2=c_1c_2\).

Найти геометрическое место точек (ГМТ) пересечения медиан всевозможных прямоугольных треугольников, гипотенуза АВ которых зафиксирована.

Точка пересечения медиан любого треугольника отсекает от медианы одну треть, считая от точки ее пересечения с соответствующей стороной. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому искомое ГМТ есть окружность радиуса, равной 1/6 от длины гипотенузы, с центром в середине этой (фиксированной) гипотенузы.

Порой темы, которые объясняют в школе, могут быть не всегда понятны с первого раза. Особенно это касается такого предмета, как математика. Но все становится намного сложнее, когда эта наука начинает подразделяться на две части: алгебру и геометрию.

Каждый ученик может обладать способностью к одному из двух направлений, но особенно в начальных классах важно понять базу и алгебры, и геометрии. В геометрии одной из главных тем принято считать раздел о треугольниках.

Как находить среднюю линию треугольника? Давайте разбираться.

Основные понятия

Для начала чтобы разобраться, как находить среднюю линию треугольника, важно понимать, что же это.

Для проведения средней линии нет ограничений: треугольник может быть любым (равнобедренным, равносторонним, прямоугольным). И все свойства, которые относятся к средней линии, будут действовать.

Средняя линия треугольника является отрезком, соединяющим середины 2-х его сторон. Следовательно, любой треугольник может иметь 3 таких линии.

Свойства

Чтобы знать, как находить среднюю линию треугольника, обозначим ее свойства, которые необходимо запомнить, иначе без них будет невозможным решение задач с необходимостью обозначить длину средней линии, поскольку все полученные данные необходимо обосновать и аргументировать теоремами, аксиомами или свойствами.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос: «Как найти среднюю линию треугольника АВС?», достаточно знать одну из сторон треугольника.

Приведем пример

Взгляните на рисунок. На нем представлен треугольник ABC со средней линией DE. Обратим внимание, что она параллельна основанию AC в треугольнике. Следовательно, каким бы ни было значение AC, средняя линия DE будет в два раза меньше. К примеру, AC=20, значит DE=10 и т. д.

Вот такими несложными способами можно понять, как находить среднюю линию треугольника. Запомните ее основные свойства и определение, и тогда у вас никогда не возникнет проблем с нахождением ее значения.