Banca aperta di compiti per i logaritmi dell'esame di stato unificato. Logaritmi: esempi e soluzioni

Come sai, quando si moltiplicano le espressioni per potenze, i loro esponenti si sommano sempre (a b *a c = a b+c). Questa legge matematica fu derivata da Archimede e più tardi, nell'VIII secolo, il matematico Virasen creò una tabella di esponenti interi. Furono loro a servire per l'ulteriore scoperta dei logaritmi. Esempi di utilizzo di questa funzione possono essere trovati quasi ovunque sia necessario semplificare moltiplicazioni complesse mediante semplici addizioni. Se dedichi 10 minuti a leggere questo articolo, ti spiegheremo cosa sono i logaritmi e come lavorare con essi. In un linguaggio semplice e accessibile.

Definizione in matematica

Un logaritmo è un'espressione nella seguente forma: log a b=c, ovvero il logaritmo di qualsiasi numero non negativo (ovvero qualsiasi numero positivo) “b” in base “a” è considerato la potenza “c ” alla quale bisogna alzare la base “a” per ottenere alla fine il valore “b”. Analizziamo il logaritmo usando esempi, diciamo che c'è un'espressione log 2 8. Come trovare la risposta? È molto semplice, devi trovare una potenza tale che da 2 alla potenza richiesta ottieni 8. Dopo aver fatto alcuni calcoli a mente, otteniamo il numero 3! E questo è vero, perché 2 elevato a 3 dà la risposta come 8.

Tipi di logaritmi

Per molti studenti questo argomento sembra complicato e incomprensibile, ma in realtà i logaritmi non sono così spaventosi, l'importante è comprenderne il significato generale e ricordare le loro proprietà e alcune regole. Esistono tre tipi distinti di espressioni logaritmiche:

1. Logaritmo naturale ln a, dove la base è il numero di Eulero (e = 2,7).
2. Decimale a, dove la base è 10.
3. Logaritmo di qualsiasi numero b in base a>1.

Ciascuno di essi viene risolto in modo standard, inclusa la semplificazione, la riduzione e la successiva riduzione a un singolo logaritmo utilizzando teoremi logaritmici. Per ottenere i valori corretti dei logaritmi, dovresti ricordare le loro proprietà e la sequenza di azioni durante la loro risoluzione.

Regole e alcune restrizioni

In matematica esistono diverse regole-vincoli che vengono accettate come assiomi, cioè non sono oggetto di discussione e sono la verità. Ad esempio, è impossibile dividere i numeri per zero, ed è anche impossibile estrarre la radice pari dei numeri negativi. Anche i logaritmi hanno le loro regole, seguendo le quali puoi facilmente imparare a lavorare anche con espressioni logaritmiche lunghe e capienti:

• La base “a” deve essere sempre maggiore di zero, e non uguale a 1, altrimenti l'espressione perde di significato, perché “1” e “0” in qualunque misura sono sempre uguali ai loro valori;
• se a > 0, allora a b >0, risulta che anche “c” deve essere maggiore di zero.

Come risolvere i logaritmi?

Ad esempio, viene assegnato il compito di trovare la risposta all'equazione 10 x = 100. Questo è molto semplice, devi scegliere una potenza elevando il numero dieci a cui otteniamo 100. Questo, ovviamente, è 10 2 = 100.

Ora rappresentiamo questa espressione in forma logaritmica. Otteniamo log 10 100 = 2. Quando si risolvono i logaritmi, tutte le azioni convergono praticamente per trovare la potenza alla quale è necessario inserire la base del logaritmo per ottenere un dato numero.

Per determinare con precisione il valore di un grado sconosciuto, devi imparare come lavorare con una tabella dei gradi. Sembra questo:

Come puoi vedere, alcuni esponenti possono essere indovinati intuitivamente se hai una mente tecnica e conoscenza della tavola pitagorica. Tuttavia, per valori maggiori sarà necessaria una tabella di potenza. Può essere utilizzato anche da chi non sa nulla di argomenti matematici complessi. La colonna di sinistra contiene numeri (base a), la riga superiore di numeri è il valore della potenza c a cui viene elevato il numero a. All'intersezione, le celle contengono i valori numerici che costituiscono la risposta (a c = b). Prendiamo, ad esempio, la prima cella con il numero 10 e la eleviamo al quadrato, otteniamo il valore 100, che è indicato all'intersezione delle nostre due celle. Tutto è così semplice e facile che anche il più vero umanista capirà!

Equazioni e disequazioni

Si scopre che in determinate condizioni l'esponente è il logaritmo. Pertanto, qualsiasi espressione numerica matematica può essere scritta come un'uguaglianza logaritmica. Ad esempio, 3 4 =81 può essere scritto come il logaritmo in base 3 di 81 uguale a quattro (log 3 81 = 4). Per le potenze negative le regole sono le stesse: 2 -5 = 1/32 lo scriviamo come logaritmo, otteniamo log 2 (1/32) = -5. Una delle sezioni più affascinanti della matematica è il tema dei “logaritmi”. Di seguito esamineremo esempi e soluzioni di equazioni, subito dopo aver studiato le loro proprietà. Ora diamo un'occhiata a come appaiono le disuguaglianze e come distinguerle dalle equazioni.

È data la seguente espressione: log 2 (x-1) > 3 - è una disuguaglianza logaritmica, poiché il valore sconosciuto “x” è sotto il segno logaritmico. E anche nell'espressione si confrontano due quantità: il logaritmo del numero desiderato in base due è maggiore del numero tre.

La differenza più importante tra equazioni e disuguaglianze logaritmiche è che le equazioni con logaritmi (ad esempio, il logaritmo 2 x = √9) implicano uno o più valori numerici specifici nella risposta, mentre quando si risolve una disuguaglianza, sia l'intervallo di accettabilità i valori​​e i punti vengono determinati interrompendo questa funzione. Di conseguenza, la risposta non è un semplice insieme di singoli numeri, come nella risposta a un'equazione, ma una serie o insieme continuo di numeri.

Teoremi fondamentali sui logaritmi

Quando si risolvono compiti primitivi per trovare i valori del logaritmo, le sue proprietà potrebbero non essere note. Tuttavia, quando si tratta di equazioni o disequazioni logaritmiche, prima di tutto è necessario comprendere chiaramente e applicare nella pratica tutte le proprietà di base dei logaritmi. In seguito esamineremo esempi di equazioni; esamineremo prima ciascuna proprietà in modo più dettagliato.

1. L'identità principale assomiglia a questa: a logaB =B. Si applica solo quando a è maggiore di 0, non uguale a uno, e B è maggiore di zero.
2. Il logaritmo del prodotto può essere rappresentato nella seguente formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In questo caso la condizione obbligatoria è: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Puoi dare una dimostrazione di questa formula logaritmica, con esempi e soluzioni. Sia log a s 1 = f 1 e log a s 2 = f 2, quindi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Otteniamo che s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietà di gradi ), e quindi per definizione: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, che è ciò che doveva essere dimostrato.
3. Il logaritmo del quoziente è simile a questo: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Il teorema sotto forma di formula assume la seguente forma: log a q b n = n/q log a b.

Questa formula è chiamata “proprietà del grado del logaritmo”. Assomiglia alle proprietà dei gradi ordinari e non è sorprendente, perché tutta la matematica si basa su postulati naturali. Diamo un'occhiata alla prova.

Sia log a b = t, risulta a t = b. Se eleviamo entrambe le parti alla potenza m: a tn = b n ;

ma poiché a tn = (a q) nt/q = b n, quindi log a q b n = (n*t)/t, allora log a q b n = n/q log a b. Il teorema è dimostrato.

Esempi di problemi e disuguaglianze

I tipi più comuni di problemi sui logaritmi sono esempi di equazioni e disequazioni. Si trovano in quasi tutti i libri di problemi e sono anche una parte obbligatoria degli esami di matematica. Per entrare in un'università o superare gli esami di ammissione in matematica, devi sapere come risolvere correttamente tali compiti.

Sfortunatamente, non esiste un unico piano o schema per risolvere e determinare il valore sconosciuto del logaritmo, ma alcune regole possono essere applicate a ciascuna disuguaglianza matematica o equazione logaritmica. Innanzitutto bisognerebbe verificare se l'espressione può essere semplificata o ridotta ad una forma generale. Puoi semplificare le espressioni logaritmiche lunghe se utilizzi correttamente le loro proprietà. Conosciamoli velocemente.

Quando risolviamo equazioni logaritmiche, dobbiamo determinare quale tipo di logaritmo abbiamo: un'espressione di esempio può contenere un logaritmo naturale o decimale.

Ecco gli esempi ln100, ln1026. La loro soluzione si riduce al fatto che devono determinare la potenza alla quale la base 10 sarà uguale a 100 e 1026, rispettivamente. Per risolvere i logaritmi naturali, è necessario applicare le identità logaritmiche o le loro proprietà. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione di problemi logaritmici di vario tipo.

Come utilizzare le formule dei logaritmi: con esempi e soluzioni

Quindi, diamo un'occhiata agli esempi di utilizzo dei teoremi di base sui logaritmi.

1. La proprietà del logaritmo di un prodotto può essere utilizzata in compiti in cui è necessario scomporre un grande valore del numero b in fattori più semplici. Ad esempio, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La risposta è 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - come puoi vedere, utilizzando la quarta proprietà della potenza del logaritmo, siamo riusciti a risolvere un'espressione apparentemente complessa e irrisolvibile. Devi solo fattorizzare la base e poi togliere i valori dell'esponente dal segno del logaritmo.

Compiti dell'Esame di Stato Unificato

I logaritmi si trovano spesso negli esami di ammissione, in particolare molti problemi logaritmici nell'Esame di Stato Unificato (esame di stato per tutti i diplomati). In genere, questi compiti sono presenti non solo nella parte A (la parte più semplice dell'esame), ma anche nella parte C (i compiti più complessi e voluminosi). L'esame richiede una conoscenza accurata e perfetta dell'argomento “Logaritmi naturali”.

Esempi e soluzioni ai problemi sono tratti dalle versioni ufficiali dell'Esame di Stato Unificato. Vediamo come vengono risolti tali compiti.

Dato log 2 (2x-1) = 4. Soluzione:
riscriviamo l'espressione semplificandola un po' log 2 (2x-1) = 2 2, per definizione del logaritmo otteniamo che 2x-1 = 2 4, quindi 2x = 17; x = 8,5.

• È meglio ridurre tutti i logaritmi alla stessa base in modo che la soluzione non sia complicata e confusa.
• Tutte le espressioni sotto il segno del logaritmo sono indicate come positive, quindi, quando l'esponente di un'espressione che è sotto il segno del logaritmo e la cui base viene tolta come moltiplicatore, l'espressione che rimane sotto il logaritmo deve essere positiva.

Cos'è un logaritmo?

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Cos'è un logaritmo? Come risolvere i logaritmi? Queste domande confondono molti laureati. Tradizionalmente, il tema dei logaritmi è considerato complesso, incomprensibile e spaventoso. Soprattutto equazioni con logaritmi.

Questo non è assolutamente vero. Assolutamente! Non mi credi? Bene. Ora, in soli 10 - 20 minuti:

1. Comprendi cos'è un logaritmo.

2. Impara a risolvere un'intera classe di equazioni esponenziali. Anche se non ne hai sentito parlare.

3. Impara a calcolare semplici logaritmi.

Inoltre, per farlo ti basterà conoscere la tavola pitagorica e come elevare un numero a potenza...

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Espressioni logaritmiche, esempi di risoluzione. In questo articolo esamineremo i problemi relativi alla risoluzione dei logaritmi. I compiti pongono la questione di trovare il significato di un'espressione. Va notato che il concetto di logaritmo viene utilizzato in molti compiti e comprenderne il significato è estremamente importante. Per quanto riguarda l'Esame di Stato Unificato, il logaritmo viene utilizzato quando si risolvono equazioni, in problemi applicati e anche in compiti relativi allo studio delle funzioni.

Facciamo degli esempi per comprendere il significato stesso del logaritmo:

Identità logaritmica di base:

Proprietà dei logaritmi che vanno sempre ricordate:

*Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.

* * *

*Il logaritmo di un quoziente (frazione) è uguale alla differenza tra i logaritmi dei fattori.

* * *

*Il logaritmo di un esponente è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della sua base.

* * *

*Transizione ad una nuova fondazione

* * *

Altre proprietà:

* * *

Il calcolo dei logaritmi è strettamente correlato all'uso delle proprietà degli esponenti.

Ne elenchiamo alcuni:

L'essenza di questa proprietà è che quando il numeratore viene trasferito al denominatore e viceversa, il segno dell'esponente cambia al contrario. Per esempio:

Un corollario da questa proprietà:

* * *

Quando si eleva una potenza a potenza, la base rimane la stessa, ma gli esponenti si moltiplicano.

* * *

Come hai visto, il concetto stesso di logaritmo è semplice. La cosa principale è che hai bisogno di una buona pratica, che ti dia una certa abilità. Naturalmente è richiesta la conoscenza delle formule. Se l'abilità nella conversione dei logaritmi elementari non è stata sviluppata, quando si risolvono compiti semplici si può facilmente commettere un errore.

Esercitati, risolvi prima gli esempi più semplici del corso di matematica, poi passa a quelli più complessi. In futuro mostrerò sicuramente come si risolvono i logaritmi “spaventosi”; non appariranno all’Esame di Stato Unificato, ma interessano, non perdeteli!

È tutto! Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh

P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.

In questo video tutorial vedremo come risolvere un'equazione logaritmica piuttosto seria, in cui non devi solo trovare le radici, ma anche selezionare quelle che giacciono su un dato segmento.

Problema C1. Risolvi l'equazione. Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo.

Una nota sulle equazioni logaritmiche

Tuttavia, di anno in anno vengono da me studenti che stanno cercando di risolverli, francamente, equazioni difficili, ma allo stesso tempo non riescono a capire: da dove dovrebbero iniziare e come affrontare i logaritmi? Questo problema può sorgere anche tra studenti forti e ben preparati.

Di conseguenza, molti iniziano a temere questo argomento o addirittura a considerarsi stupidi. Quindi ricorda: se non riesci a risolvere un’equazione del genere, questo non significa affatto che sei stupido. Perché, ad esempio, puoi gestire questa equazione quasi verbalmente:

logaritmo 2 x = 4

E se così non fosse, non staresti leggendo questo testo adesso, perché eri occupato con compiti più semplici e banali. Naturalmente qualcuno ora obietterà: “Cosa c’entra questa semplicissima equazione con la nostra struttura sana?” Rispondo: qualsiasi equazione logaritmica, non importa quanto complessa possa essere, alla fine si riduce a queste strutture più semplici che possono essere risolte oralmente.

Naturalmente, dalle equazioni logaritmiche complesse si deve passare a quelle più semplici non attraverso la selezione o la danza con un tamburello, ma secondo regole chiare e ben definite, che si chiamano: regole per la conversione di espressioni logaritmiche. Conoscendoli, puoi facilmente affrontare anche le equazioni più sofisticate nell'Esame di Stato Unificato di matematica.

Ed è proprio di queste regole che parleremo nella lezione di oggi. Andare!

Risoluzione dell'equazione logaritmica nel problema C1

Quindi, risolviamo l'equazione:

Prima di tutto, quando si tratta di equazioni logaritmiche, ricordiamo le tattiche di base, per così dire, la regola di base per risolvere le equazioni logaritmiche. Consiste in quanto segue:

Il teorema della forma canonica. Qualsiasi equazione logaritmica, non importa cosa includa, non importa quali logaritmi, non importa quale base, e non importa cosa contenga, deve necessariamente essere ridotta a un'equazione della forma:

logaritmo a f (x) = logaritmo a g (x)

Se guardiamo la nostra equazione, notiamo subito due problemi:

1. A sinistra abbiamo somma di due numeri, uno dei quali non è affatto un logaritmo.
2. A destra c'è un bel logaritmo, ma alla base c'è una radice. E il logaritmo a sinistra è semplicemente 2, cioè Le basi dei logaritmi a sinistra e a destra sono diverse.

Quindi, abbiamo compilato questo elenco di problemi che separano la nostra equazione da quella equazione canonica, a cui qualsiasi equazione logaritmica deve essere ridotta durante il processo di soluzione. Pertanto, risolvere la nostra equazione in questa fase si riduce all'eliminazione dei due problemi sopra descritti.

Qualsiasi equazione logaritmica può essere risolta rapidamente e facilmente se la riduci alla sua forma canonica.

Somma dei logaritmi e logaritmo del prodotto

Procediamo con ordine. Per prima cosa, diamo un'occhiata alla struttura a sinistra. Cosa possiamo dire della somma di due logaritmi? Ricordiamo la meravigliosa formula:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Ma vale la pena considerare che nel nostro caso il primo termine non è affatto un logaritmo. Ciò significa che dobbiamo rappresentare l'unità come un logaritmo in base 2 (precisamente 2, perché il logaritmo in base 2 è a sinistra). Come farlo? Ricordiamo ancora la meravigliosa formula:

a = logaritmo b b a

Qui devi capire: quando diciamo "Qualsiasi base b", intendiamo che b non può ancora essere un numero arbitrario. Se inseriamo un numero in un logaritmo, certo restrizioni, vale a dire: la base del logaritmo deve essere maggiore di 0 e non deve essere uguale a 1. Altrimenti il ​​logaritmo semplicemente non ha senso. Scriviamolo:

0 < b ≠ 1

Vediamo cosa succede nel nostro caso:

1 = logaritmo 2 2 1 = logaritmo 2 2

Ora riscriviamo l'intera equazione tenendo conto di questo fatto. E applichiamo subito un'altra regola: la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto degli argomenti. Di conseguenza otteniamo:

Abbiamo una nuova equazione. Come vediamo, è già molto più vicino all’equazione canonica a cui aspiriamo. Ma c'è un problema, l'abbiamo scritto come secondo punto: i nostri logaritmi, che sono a sinistra e a destra, motivi diversi. Passiamo al passaggio successivo.

Regole per sottrarre potenze dal logaritmo

Quindi il logaritmo a sinistra ha base solo 2, mentre il logaritmo a destra ha una radice alla base. Ma questo non è un problema se ricordiamo che le basi degli argomenti del logaritmo possono essere elevate a potenze. Scriviamo una di queste regole:

logaritmo a b n = n logaritmo a b

Tradotto in linguaggio umano: si può togliere la potenza dalla base del logaritmo e metterla davanti come moltiplicatore. Il numero n "migrò" dal logaritmo verso l'esterno e divenne un coefficiente davanti.

Possiamo ricavare altrettanto facilmente la potenza dalla base del logaritmo. Apparirà così:

In altre parole, se si toglie il grado dall'argomento del logaritmo, anche questo grado viene scritto come fattore prima del logaritmo, ma non come numero, bensì come numero reciproco 1/k.

Ma non è tutto! Possiamo combinare queste due formule e ottenere la seguente formula:

Quando una potenza appare sia nella base che nell'argomento di un logaritmo, possiamo risparmiare tempo e semplificare i calcoli eliminando immediatamente le potenze sia dalla base che dall'argomento. In questo caso, ciò che c'era nell'argomento (nel nostro caso è il coefficiente n) apparirà al numeratore. E quello che era il grado alla base, ak, andrà al denominatore.

E sono proprio queste formule che useremo ora per ridurre i nostri logaritmi alla stessa base.

Innanzitutto scegliamo una base più o meno bella. Ovviamente è molto più piacevole lavorare con un due alla base che con una radice. Proviamo quindi a ridurre il secondo logaritmo in base 2. Scriviamo questo logaritmo separatamente:

Cosa possiamo fare qui? Ricordiamo la formula della potenza con esponente razionale. In altre parole, possiamo scrivere le radici come una potenza con esponente razionale. E poi togliamo la potenza di 1/2 sia dall'argomento che dalla base del logaritmo. Riduciamo i due nei coefficienti al numeratore e al denominatore rivolti verso il logaritmo:

Infine riscriviamo l'equazione originale tenendo conto dei nuovi coefficienti:

logaritmo 2 2(9x 2 + 5) = logaritmo 2 (8x 4 + 14)

Abbiamo ottenuto l'equazione logaritmica canonica. Sia a sinistra che a destra abbiamo un logaritmo con la stessa base 2. A parte questi logaritmi, non ci sono coefficienti, né termini né a sinistra né a destra.

Di conseguenza possiamo eliminare il segno del logaritmo. Naturalmente, tenendo conto del dominio di definizione. Ma prima di farlo, torniamo indietro e facciamo un piccolo chiarimento sulle frazioni.

Dividere una frazione per una frazione: considerazioni aggiuntive

Non tutti gli studenti capiscono da dove provengono e dove vanno i fattori davanti al logaritmo giusto. Scriviamolo di nuovo:

Scopriamo cos'è una frazione. Scriviamo:

Ora ricordiamo la regola per dividere le frazioni: per dividere per 1/2 bisogna moltiplicare per la frazione invertita:

Naturalmente, per comodità di ulteriori calcoli, possiamo scrivere due come 2/1 - e questo è ciò che osserviamo come secondo coefficiente nel processo di soluzione.

Spero che ora tutti capiscano da dove viene il secondo coefficiente, quindi passiamo direttamente alla risoluzione della nostra equazione logaritmica canonica.

Sbarazzarsi del segno del logaritmo

Lascia che ti ricordi che ora possiamo sbarazzarci dei logaritmi e lasciare la seguente espressione:

2(9x2+5) = 8x4+14

Apriamo le parentesi a sinistra. Noi abbiamo:

18x2+10 = 8x4+14

Spostiamo tutto dal lato sinistro a quello destro:

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

Portiamone di simili e otteniamo:

8x4 − 18x2 + 4 = 0

Possiamo dividere entrambi i membri di questa equazione per 2 per semplificare i coefficienti e otteniamo:

4x4 − 9x2 + 2 = 0

Davanti a noi c'è il solito equazione biquadratica, e le sue radici sono facilmente calcolabili attraverso il discriminante. Quindi, scriviamo il discriminante:

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

Ottimo, il discriminante è “bello”, la sua radice è 7. Questo è tutto, contiamo le X noi stessi. Ma in questo caso le radici non saranno x, ma x 2, perché abbiamo un'equazione biquadratica. Quindi, le nostre opzioni:

Nota: abbiamo estratto le radici, quindi ci saranno due risposte, perché... piazza - funzione pari. E se scriviamo solo la radice di due, perderemo semplicemente la seconda radice.

Ora scriviamo la seconda radice della nostra equazione biquadratica:

Ancora una volta, prendiamo la radice quadrata aritmetica di entrambi i lati della nostra equazione e otteniamo due radici. Tuttavia, ricorda:

Non è sufficiente equiparare semplicemente gli argomenti dei logaritmi in forma canonica. Ricorda il dominio di definizione!

In totale abbiamo quattro radici. Sono tutte infatti soluzioni alla nostra equazione originale. Dai un'occhiata: nella nostra equazione logaritmica originale, i logaritmi all'interno sono 9x 2 + 5 (questa funzione è sempre positiva) o 8x 4 + 14 - anch'esso sempre positivo. Pertanto, il dominio di definizione dei logaritmi è soddisfatto in ogni caso, indipendentemente dalla radice che otteniamo, il che significa che tutte e quattro le radici sono soluzioni alla nostra equazione.

Ottimo, ora passiamo alla seconda parte del problema.

Selezione delle radici di un'equazione logaritmica su un segmento

Dalle nostre quattro radici selezioniamo quelle che giacciono sul segmento [−1; 8/9]. Torniamo alle nostre radici e ora effettueremo la loro selezione. Per cominciare, suggerisco di disegnare un asse di coordinate e di segnare su di esso le estremità del segmento:

Entrambi i punti saranno ombreggiati. Quelli. A seconda delle condizioni del problema, siamo interessati al segmento ombreggiato. Ora diamo un'occhiata alle radici.

Radici irrazionali

Cominciamo con le radici irrazionali. Tieni presente che 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Ne consegue che la radice di due non rientra nel segmento che ci interessa. Allo stesso modo otterremo con radice negativa: è minore di −1, cioè si trova a sinistra del segmento che ci interessa.

Radici razionali

Rimangono due radici: x = 1/2 e x = −1/2. Notiamo che l'estremità sinistra del segmento (−1) è negativa e l'estremità destra (8/9) è positiva. Pertanto, da qualche parte tra queste estremità si trova il numero 0. La radice x = −1/2 sarà compresa tra −1 e 0, cioè finirà nella risposta finale. Facciamo lo stesso con la radice x = 1/2. Anche questa radice si trova nel segmento in esame.

Puoi assicurarti che 8/9 sia maggiore di 1/2. Sottraiamo questi numeri l'uno dall'altro:

Abbiamo ottenuto la frazione 7/18 > 0, che per definizione significa 8/9 > 1/2.

Contrassegniamo le radici appropriate sull'asse delle coordinate:

La risposta finale sarà due radici: 1/2 e −1/2.

Confronto di numeri irrazionali: un algoritmo universale

In conclusione, vorrei tornare ancora una volta ai numeri irrazionali. Usando il loro esempio, vedremo ora come confrontare quantità razionali e irrazionali in matematica. Per cominciare, tra loro c'è un segno di spunta V - un segno "più" o "meno", ma non sappiamo ancora in quale direzione sia diretto. Scriviamo:

Perché abbiamo bisogno di algoritmi di confronto? Il fatto è che in questo problema siamo stati molto fortunati: nel processo di risoluzione della divisione è emerso il numero 1, di cui possiamo sicuramente dire:

Tuttavia, non sempre vedrai subito un numero del genere. Proviamo quindi a confrontare direttamente i nostri numeri.

Come è fatto? Facciamo lo stesso che con le disuguaglianze ordinarie:

1. Innanzitutto, se da qualche parte avessimo coefficienti negativi, moltiplicheremmo entrambi i lati della disuguaglianza per −1. Ovviamente cambiando il segno. Questo segno di spunta V cambierebbe in questo - Λ.
2. Ma nel nostro caso entrambe le parti sono già positive, quindi non c’è bisogno di cambiare nulla. Ciò che è veramente necessario è quadrato su entrambi i lati per eliminare il radicale.

Se, quando si confrontano numeri irrazionali, non è possibile selezionare immediatamente l'elemento di separazione, consiglio di eseguire tale confronto "frontalmente", descrivendolo come una disuguaglianza ordinaria.

Quando lo risolvi, viene formalizzato in questo modo:

Ora è tutto facile confrontare. Il punto è che 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Questo è tutto, abbiamo ricevuto prove rigorose che tutti i numeri sono contrassegnati sulla linea numerica x correttamente ed esattamente nella sequenza in cui dovrebbero essere effettivamente. Nessuno troverà difetti in questa soluzione, quindi ricorda: se non vedi immediatamente il numero di divisione (nel nostro caso è 1), sentiti libero di scrivere la costruzione sopra, moltiplicarla, elevarla al quadrato - e alla fine lo farai ottieni una bella disuguaglianza. Da questa disuguaglianza sarà chiaro quale numero è maggiore e quale è minore.

Tornando al nostro problema, vorrei attirare ancora una volta la vostra attenzione su ciò che abbiamo fatto all'inizio quando abbiamo risolto la nostra equazione. Vale a dire: abbiamo esaminato da vicino la nostra equazione logaritmica originale e abbiamo provato a ridurla a canonico equazione logaritmica. Dove ci sono solo logaritmi a sinistra e a destra - senza termini aggiuntivi, coefficienti davanti, ecc. Non abbiamo bisogno di due logaritmi basati su aob, ma di un logaritmo uguale a un altro logaritmo.

Inoltre anche le basi dei logaritmi devono essere uguali. Inoltre, se l'equazione è composta correttamente, con l'aiuto di trasformazioni logaritmiche elementari (somma di logaritmi, trasformazione di un numero in logaritmo, ecc.) Ridurremo questa equazione a quella canonica.

Pertanto, da ora in poi, quando vedi un'equazione logaritmica che non può essere risolta immediatamente, non dovresti perderti o cercare di trovare la risposta. Tutto quello che devi fare è seguire questi passaggi:

1. Converti tutti gli elementi liberi in un logaritmo;
2. Quindi aggiungi questi logaritmi;
3. Nella costruzione risultante tutti i logaritmi vengono ridotti alla stessa base.

Di conseguenza, otterrai una semplice equazione che può essere risolta utilizzando strumenti di algebra elementare da materiali di grado 8-9. In generale, vai sul mio sito web, esercitati a risolvere i logaritmi, risolvi equazioni logaritmiche come me, risolvile meglio di me. E questo è tutto per me. Pavel Berdov era con te. Ci vediamo!