Ühtse riigieksami logaritmide jaoks avatud ülesannete pank. Logaritmid: näited ja lahendused

Nagu teate, korrutades avaldisi astmetega, nende eksponendid liidetakse alati (a b *a c = a b+c). Selle matemaatilise seaduse tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvude eksponentide tabeli. Just nemad teenisid logaritmide edasist avastamist. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja tülikat korrutamist lihtsa liitmise abil lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtsas ja arusaadavas keeles.

Definitsioon matemaatikas

Logaritm on järgmise kujuga avaldis: log a b=c, st mis tahes mittenegatiivse arvu (st iga positiivse) logaritmi “b” aluse “a” suhtes peetakse astmeks “c”. ”, milleni tuleb baasi „a” tõsta, et lõpuks saada väärtus „b”. Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas leida vastus? See on väga lihtne, peate leidma sellise võimsuse, et 2-st kuni vajaliku võimsuseni saate 8. Kui olete oma peas arvutusi teinud, saame arvu 3! Ja see on tõsi, sest 2 astmel 3 annab vastuseks 8.

Logaritmide tüübid

Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Logaritmilisi avaldisi on kolme erinevat tüüpi:

1. Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
2. Kümnend a, kus alus on 10.
3. Mis tahes arvu b logaritm aluse a>1 suhtes.

Igaüks neist on lahendatud standardsel viisil, sealhulgas lihtsustamine, taandamine ja järgnev taandamine üheks logaritmiks, kasutades logaritmilisi teoreeme. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks peaksite nende lahendamisel meeles pidama nende omadusi ja toimingute jada.

Reeglid ja mõned piirangud

Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, st need ei kuulu arutlusele ja on tõde. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu eraldada negatiivsete arvude paarisjuurt. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida töötama isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:

• Alus "a" peab alati olema suurem kui null ja mitte võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
• kui a > 0, siis a b >0, selgub, et ka “c” peab olema suurem kui null.

Kuidas logaritme lahendada?

Näiteks on antud ülesanne leida vastus võrrandile 10 x = 100. See on väga lihtne, tuleb valida aste, tõstes arvu kümmet, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 = 100.

Nüüd esitame selle avaldise logaritmilisel kujul. Saame logaritmi 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt kokku, et leida aste, milleni on etteantud arvu saamiseks vaja sisestada logaritmi baas.

Tundmatu kraadi väärtuse täpseks määramiseks peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:

Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõistus ja teadmised korrutustabelist. Suuremate väärtuste jaoks vajate aga toitetabelit. Seda saavad kasutada isegi need, kes ei tea keerulistest matemaatilistest teemadest midagi. Vasakpoolne veerg sisaldab numbreid (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, milleni arv a tõstetakse. Ristmikul sisaldavad lahtrid numbriväärtusi, mis on vastuseks (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!

Võrrandid ja võrratused

Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seetõttu saab logaritmilise võrdsusena kirjutada mis tahes matemaatilisi arvavaldisi. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada kui 81 baasi 3 logaritm, mis võrdub neljaga (log 3 81 = 4). Negatiivsete astmete puhul on reeglid samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame selle logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid sektsioone on “logaritmide” teema. Allpool vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.

Antakse järgmine avaldis: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline võrratus, kuna tundmatu väärtus “x” on logaritmilise märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm alus kahele on suurem kui arv kolm.

Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) viitavad vastuses ühele või mitmele konkreetsele arvväärtusele, samas kui ebavõrdsuse lahendamisel on mõlemad vastuvõetavate väärtuste vahemikud. väärtused ja punktid määratakse seda funktsiooni katkestades. Selle tulemusena ei ole vastus lihtne üksikute arvude kogum, nagu võrrandi vastuses, vaid pidev arvude jada või komplekt.

Põhiteoreemid logaritmide kohta

Primitiivsete logaritmi väärtuste leidmise ülesannete lahendamisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Vaatame võrrandite näiteid esmalt üksikasjalikumalt.

1. Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
2. Korrutise logaritmi saab esitada järgmise valemiga: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul on kohustuslik tingimus: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Saate esitada selle logaritmilise valemi tõestuse koos näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (omadused kraadi ) ja siis definitsiooni järgi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mis vajas tõestamist.
3. Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Valemi kujul olev teoreem on järgmisel kujul: log a q b n = n/q log a b.

Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika põhineb looduslikel postulaatidel. Vaatame tõestust.

Olgu logi a b = t, selgub a t =b. Kui tõstame mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;

aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.

Näited probleemidest ja ebavõrdsusest

Kõige tavalisemad logaritmide probleemide tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need on ka matemaatikaeksamite kohustuslik osa. Ülikooli astumiseks või matemaatika sisseastumiseksamite sooritamiseks peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.

Kahjuks pole logaritmi tundmatu väärtuse lahendamiseks ja määramiseks ühtset plaani või skeemi, kuid iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul saab rakendada teatud reegleid. Kõigepealt tuleks välja selgitada, kas väljendit saab lihtsustada või taandada üldisele kujule. Kui kasutate nende omadusi õigesti, saate pikki logaritmilisi avaldisi lihtsustada. Saame nendega kiiresti tuttavaks.

Logaritmivõrrandite lahendamisel tuleb kindlaks teha, mis tüüpi logaritm meil on: näidisavaldis võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.

Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et nad peavad määrama võimsuse, mille baas 10 võrdub vastavalt 100 ja 1026. Naturaallogaritmide lahendamiseks peate rakendama logaritmilisi identiteete või nende omadusi. Vaatame näiteid erinevat tüüpi logaritmiliste ülesannete lahendamisest.

Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega

Niisiis, vaatame näiteid logaritmide põhiteoreemide kasutamisest.

1. Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja arvu b suur väärtus lagundada lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada pealtnäha keeruline ja lahendamatu avaldis. Peate lihtsalt arvutama aluse ja seejärel võtma eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.

Ühtse riigieksami ülesanded

Sisseastumiseksamitel leidub sageli logaritme, eriti palju logaritmiülesandeid ühtse riigieksami puhul (riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A-osas (eksami lihtsaim testiosa), vaid ka C-osas (kõige keerulisemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema “Looduslikud logaritmid” täpset ja täiuslikku tundmist.

Näited ja probleemide lahendused on võetud ühtse riigieksami ametlikest versioonidest. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.

Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4, seega 2x = 17; x = 8,5.

• Parim on taandada kõik logaritmid samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
• Kõik logaritmimärgi all olevad avaldised on märgitud positiivsetena, seega kui logaritmimärgi all oleva avaldise astendaja võetakse kordajaks välja, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.

Mis on logaritm?

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Mis on logaritm? Kuidas logaritme lahendada? Need küsimused ajavad paljud koolilõpetajad segadusse. Traditsiooniliselt peetakse logaritmide teemat keeruliseks, arusaamatuks ja hirmutavaks. Eriti logaritmidega võrrandid.

See pole absoluutselt tõsi. Absoluutselt! Ei usu mind? Hästi. Nüüd, vaid 10–20 minuti pärast:

1. Saage aru mis on logaritm.

2. Õppige lahendama tervet klassi eksponentsiaalvõrrandeid. Isegi kui te pole neist midagi kuulnud.

3. Õppige arvutama lihtsaid logaritme.

Veelgi enam, selleks peate teadma ainult korrutustabelit ja seda, kuidas tõsta arvu astmeks...

Ma tunnen, et teil on kahtlusi... Noh, olgu, märkige aeg! Mine!

Esmalt lahendage see võrrand oma peas:

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ja eelseisvate sündmustega.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Logaritmiavaldised, näidete lahendamine. Käesolevas artiklis vaatleme logaritmide lahendamisega seotud probleeme. Ülesanded esitavad küsimuse väljendi tähenduse leidmise kohta. Tuleb märkida, et logaritmi mõistet kasutatakse paljudes ülesannetes ja selle tähenduse mõistmine on äärmiselt oluline. Mis puudutab ühtset riigieksamit, siis logaritmi kasutatakse võrrandite lahendamisel, rakendusülesannetes ja ka funktsioonide uurimisega seotud ülesannetes.

Toome näiteid, et mõista logaritmi tähendust:

Põhilogaritmiline identiteet:

Logaritmide omadused, mida tuleb alati meeles pidada:

*Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga.

* * *

*Jagatise (murru) logaritm võrdub tegurite logaritmide vahega.

* * *

*Astendaja logaritm võrdub eksponendi ja selle aluse logaritmi korrutisega.

* * *

*Üleminek uuele vundamendile

* * *

Rohkem omadusi:

* * *

Logaritmide arvutamine on tihedalt seotud eksponentide omaduste kasutamisega.

Loetleme mõned neist:

Selle omaduse olemus seisneb selles, et lugeja kandmisel nimetajale ja vastupidi muutub astendaja märk vastupidiseks. Näiteks:

Selle omaduse tagajärg:

* * *

Tõsttes astme astmeks, jääb alus samaks, kuid eksponendid korrutatakse.

* * *

Nagu nägite, on logaritmi mõiste iseenesest lihtne. Peaasi, et vajate head praktikat, mis annab teatud oskuse. Loomulikult on valemite tundmine vajalik. Kui elementaarlogaritmide teisendamise oskus pole arenenud, siis lihtsate ülesannete lahendamisel võib kergesti eksida.

Harjuta, lahenda esmalt matemaatikakursuse kõige lihtsamad näited, siis liigu edasi keerulisemate juurde. Tulevikus näitan kindlasti, kuidas "hirmutavad" logaritmid lahendatakse, need ei ilmu ühtsele riigieksamile, kuid need pakuvad huvi, ärge jätke neid vahele!

See on kõik! Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Selles videoõpetuses käsitleme üsna tõsise logaritmilise võrrandi lahendamist, mille puhul peate mitte ainult leidma juured, vaid ka valima need, mis asuvad antud segmendil.

Probleem C1. Lahenda võrrand. Leia kõik selle võrrandi juured, mis kuuluvad intervalli.

Märkus logaritmiliste võrrandite kohta

Kuid aasta-aastalt tulevad minu juurde üliõpilased, kes proovivad lahendada selliseid, ausalt öeldes, rasked võrrandid, kuid samas ei saa nad aru: kust üldse alustada ja kuidas logaritmidele läheneda? See probleem võib tekkida isegi tugevate, hästi ettevalmistatud õpilaste seas.

Seetõttu hakkavad paljud seda teemat kartma või peavad end isegi rumalaks. Nii et pidage meeles: kui te ei suuda sellist võrrandit lahendada, ei tähenda see sugugi, et olete rumal. Sest näiteks saate seda võrrandit käsitleda peaaegu verbaalselt:

log 2 x = 4

Ja kui see nii pole, siis te ei loeks seda teksti praegu, sest olite hõivatud lihtsamate ja argisemate ülesannetega. Muidugi vaidleb keegi nüüd vastu: "Mis on sellel lihtsaimal võrrandil pistmist meie tervisliku struktuuriga?" Ma vastan: iga logaritmiline võrrand, ükskõik kui keeruline see ka poleks, taandub lõpuks nendele kõige lihtsamatele struktuuridele, mida saab suuliselt lahendada.

Muidugi tuleb keerukatelt logaritmilistest võrranditest lihtsamate poole liikuda mitte valiku või tamburiiniga tantsimise teel, vaid selgete, pikalt määratletud reeglite järgi, mida nimetatakse - reeglid logaritmiliste avaldiste teisendamiseks. Neid teades saate hõlpsasti hakkama isegi kõige keerukamate võrranditega matemaatika ühtsel riigieksamil.

Ja just nendest reeglitest räägime tänases õppetükis. Mine!

Logaritmilise võrrandi lahendamine ülesandes C1

Niisiis, lahendame võrrandi:

Esiteks, kui rääkida logaritmilistest võrranditest, siis me mäletame põhitaktikat – nii-öelda logaritmiliste võrrandite lahendamise põhireeglit. See koosneb järgmistest osadest:

Kanoonilise vormi teoreem. Iga logaritmiline võrrand, olenemata sellest, mida see sisaldab, mis tahes logaritmidel, mille alusel ja mida see sisaldab, tuleb tingimata taandada vormi võrrandiks:

log a f (x) = log a g (x)

Kui vaatame oma võrrandit, märkame kohe kahte probleemi:

1. Vasakul on meil kahe arvu summa, millest üks ei ole üldse logaritm.
2. Paremal on üsna logaritm, kuid selle põhjas on juur. Ja vasakpoolne logaritm on lihtsalt 2, st. Vasak- ja parempoolsete logaritmide alused on erinevad.

Niisiis, oleme koostanud selle probleemide loendi, mis eraldavad meie võrrandi sellest kanooniline võrrand, millele lahendusprotsessi käigus tuleb taandada mis tahes logaritmiline võrrand. Seega taandub meie võrrandi lahendamine selles etapis kahe ülalkirjeldatud probleemi kõrvaldamisele.

Iga logaritmi võrrandit saab kiiresti ja lihtsalt lahendada, kui taandada selle kanoonilisele kujule.

Logaritmide summa ja korrutise logaritm

Jätkame järjekorras. Kõigepealt vaatame vasakpoolset struktuuri. Mida saame öelda kahe logaritmi summa kohta? Meenutagem imelist valemit:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Kuid tasub arvestada, et meie puhul ei ole esimene liige üldse logaritm. See tähendab, et peame ühikut esitama logaritmina aluse 2 suhtes (täpselt 2, sest aluse 2 logaritm on vasakul). Kuidas seda teha? Meenutagem taas imelist valemit:

a = log b b a

Siin peate mõistma: kui ütleme "ükskõik milline alus b", siis peame silmas, et b ei saa ikkagi olla suvaline arv. Kui sisestame arvu logaritmi, on kindel piiranguid, nimelt: logaritmi alus peab olema suurem kui 0 ja ei tohi olla võrdne 1-ga. Vastasel juhul pole logaritmil lihtsalt mõtet. Paneme selle kirja:

0 < b ≠ 1

Vaatame, mis meie puhul juhtub:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Nüüd kirjutame kogu võrrandi ümber, võttes seda asjaolu arvesse. Ja rakendame kohe veel ühe reegli: logaritmide summa võrdub argumentide korrutise logaritmiga. Selle tulemusena saame:

Meil on uus võrrand. Nagu näeme, on see juba palju lähemal kanoonilisele võrrandile, mille poole püüdleme. Kuid on üks probleem, panime selle teise punktina kirja: meie logaritmid, mis on vasakul ja paremal, erinevad põhjused. Liigume edasi järgmise sammu juurde.

Logaritmist astmete lahutamise reeglid

Nii et vasakpoolse logaritmi alus on vaid 2 ja parempoolsel logaritmil on juur. Aga see pole probleem, kui meenutame, et logaritmi argumentide aluseid saab tõsta astmeteks. Paneme kirja ühe järgmistest reeglitest:

log a b n = n log a b

Inimkeelde tõlgituna: saab logaritmi baasist võimsuse välja võtta ja kordajaks ette panna. Arv n "rändas" logaritmist väljapoole ja muutus koefitsiendiks ees.

Sama lihtsalt saame võimsuse tuletada logaritmi baasist. See näeb välja selline:

Teisisõnu, kui eemaldada logaritmi argumendist aste, kirjutatakse see aste ka tegurina enne logaritmi, kuid mitte arvuna, vaid pöördarvuna 1/k.

Siiski pole see veel kõik! Saame need kaks valemit kombineerida ja saada järgmise valemi:

Kui aste esineb nii logaritmi aluses kui argumendis, saame säästa aega ja lihtsustada arvutusi, võttes koheselt astmed välja nii baasist kui argumendist. Sel juhul kuvatakse lugejas argumendis sisalduv (meie puhul on see koefitsient n). Ja mis oli aste baasis, a k, läheb nimetajasse.

Ja just neid valemeid hakkame nüüd kasutama, et taandada oma logaritmid samale alusele.

Kõigepealt valime enam-vähem ilusa aluse. Ilmselgelt on kahega põhjas palju mõnusam töötada kui juurega. Nii et proovime taandada teise logaritmi alusele 2. Kirjutame selle logaritmi eraldi:

Mida me siin teha saame? Tuletagem meelde ratsionaalse astendajaga astmevalemit. Teisisõnu, me saame kirjutada juured ratsionaalse astendajaga astmena. Ja siis võtame nii argumendist kui ka logaritmi baasist välja astme 1/2. Vähendame logaritmi vastas olevate lugeja ja nimetaja koefitsientide kahed:

Lõpuks kirjutame ümber algse võrrandi, võttes arvesse uusi koefitsiente:

log 2 2 (9 x 2 + 5) = log 2 (8 x 4 + 14)

Oleme saanud kanoonilise logaritmilise võrrandi. Nii vasakul kui ka paremal on meil logaritm samale alusele 2. Peale nende logaritmide ei ole koefitsiente ega termineid ei vasakul ega paremal.

Järelikult saame logaritmi märgist lahti. Muidugi, võttes arvesse määratlusvaldkonda. Aga enne kui me seda teeme, läheme tagasi ja teeme murdude kohta veidi selgitust.

Murru jagamine murdosaga: lisakaalutlused

Kõik õpilased ei mõista, kust õige logaritmi ees olevad tegurid tulevad ja kuhu need lähevad. Paneme selle uuesti kirja:

Mõelgem välja, mis on murd. Paneme kirja:

Nüüd meenutagem murdude jagamise reeglit: 1/2-ga jagamiseks peate korrutama pööratud murruga:

Muidugi võime edasiste arvutuste mugavuse huvides kirjutada kaks kui 2/1 - ja seda me jälgime lahendusprotsessi teise koefitsiendina.

Loodan, et nüüd saavad kõik aru, kust teine ​​koefitsient pärineb, nii et liigume otse meie kanoonilise logaritmilise võrrandi lahendamise juurde.

Logaritmimärgist vabanemine

Lubage mul teile meelde tuletada, et nüüd saame logaritmidest lahti saada ja jätta järgmise avaldise:

2 (9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Avame vasakpoolsed sulgud. Saame:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Liigutame kõik vasakult küljelt paremale:

8x 4 + 14 - 18x 2 - 10 = 0

Toome sarnased ja saame:

8x 4 - 18x 2 + 4 = 0

Koefitsientide lihtsustamiseks saame selle võrrandi mõlemad pooled jagada 2-ga ja saame:

4x 4 - 9x 2 + 2 = 0

Meie ees on tavaline bikvadraatne võrrand, ja selle juured on diskriminandi kaudu kergesti arvutatavad. Niisiis, paneme kirja diskrimineerija:

D = 81 - 4 4 2 = 81 - 32 = 49

Suurepärane, diskriminant on “ilus”, selle juur on 7. See on kõik, loeme X-d ise. Kuid sel juhul ei ole juured x, vaid x 2, kuna meil on bikvadraatvõrrand. Niisiis, meie võimalused:

Pange tähele: ekstraheerisime juured, nii et vastuseid on kaks, sest... ruut - ühtlane funktsioon. Ja kui kirjutame ainult kahe juure, kaotame lihtsalt teise juure.

Nüüd kirjutame oma bikvadraatvõrrandi teise juure:

Jällegi võtame võrrandi mõlema poole aritmeetilise ruutjuure ja saame kaks juurt. Siiski pidage meeles:

Ei piisa lihtsalt kanoonilises vormis logaritmide argumentide samastamisest. Pea meeles määratlusvaldkond!

Kokku saime neli juurikat. Kõik need on tõepoolest meie algse võrrandi lahendused. Vaadake: meie algses logaritmilises võrrandis on sees olevad logaritmid kas 9x 2 + 5 (see funktsioon on alati positiivne) või 8x 4 + 14 – mis on samuti alati positiivne. Seetõttu on logaritmide määratluspiirkond igal juhul täidetud, olenemata sellest, millise juure me saame, mis tähendab, et kõik neli juurt on meie võrrandi lahendid.

Suurepärane, liigume nüüd probleemi teise osa juurde.

Logaritmilise võrrandi juurte valik lõigul

Meie nelja juure hulgast valime need, mis asuvad segmendil [−1; 8/9]. Pöördume tagasi oma juurte juurde ja nüüd teeme nende valiku. Alustuseks soovitan joonistada koordinaatide telg ja märkida sellele segmendi otsad:

Mõlemad punktid on varjutatud. Need. Vastavalt probleemi tingimustele oleme huvitatud varjutatud segmendist. Nüüd vaatame juuri.

Irratsionaalsed juured

Alustame irratsionaalsetest juurtest. Pange tähele, et 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Sellest järeldub, et kahe juur ei kuulu meid huvitavasse segmenti. Samamoodi saame negatiivse juurega: see on väiksem kui −1, see tähendab, et see asub meile huvipakkuvast segmendist vasakul.

Ratsionaalsed juured

Alles on kaks juurt: x = 1/2 ja x = −1/2. Paneme tähele, et segmendi vasak ots (−1) on negatiivne ja parem ots (8/9) on positiivne. Seetõttu asub kuskil nende otste vahel arv 0. Juur x = −1/2 jääb −1 ja 0 vahele, st. jõuab lõpliku vastuseni. Teeme sama juurega x = 1/2. See juur asub ka vaadeldaval segmendil.

Võite veenduda, et 8/9 on suurem kui 1/2. Lahutame need arvud üksteisest:

Saime murdarvuks 7/18 > 0, mis definitsiooni järgi tähendab, et 8/9 > 1/2.

Märgime koordinaatide teljele sobivad juured:

Lõplik vastus on kaks juurt: 1/2 ja −1/2.

Irratsionaalarvude võrdlus: universaalne algoritm

Kokkuvõtteks tahaksin veel kord tagasi pöörduda irratsionaalsete arvude juurde. Nende näitel vaatleme nüüd, kuidas matemaatikas võrrelda ratsionaalseid ja irratsionaalseid suurusi. Alustuseks on nende vahel selline linnuke V - märk "rohkem" või "vähem", kuid me ei tea veel, mis suunas see on suunatud. Paneme kirja:

Miks meil üldse mingeid võrdlusalgoritme vaja on? Fakt on see, et selles ülesandes meil väga vedas: jagamise lahendamise käigus tekkis number 1, mille kohta võime kindlasti öelda:

Kuid te ei näe sellist numbrit alati kohe. Nii et proovime võrrelda oma numbreid otse.

Kuidas seda tehakse? Teeme sama, mis tavaliste ebavõrdsuste puhul:

1. Esiteks, kui meil oleks kuskil negatiivsed koefitsiendid, korrutaksime ebavõrdsuse mõlemad pooled −1-ga. Muidugi märgi muutmine. See linnuke V muutuks selliseks - Λ.
2. Aga meie puhul on mõlemad pooled juba positiivsed, seega pole vaja midagi muuta. Mida on tõesti vaja ruut mõlemalt poolt radikaalist vabanemiseks.

Kui irratsionaalsete arvude võrdlemisel ei ole võimalik koheselt eraldavat elementi valida, soovitan sellist võrdlust teha "peapeale" - kirjeldades seda tavalise ebavõrdsusena.

Selle lahendamisel vormistatakse see järgmiselt:

Nüüd on kõike lihtne võrrelda. Asi on selles, et 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

See selleks, oleme saanud karmi tõestuse, et kõik numbrid on numbrireal x märgitud õigesti ja täpselt sellises järjestuses, nagu nad tegelikult olema peaksid. Keegi ei leia selles lahenduses vigu, seega pidage meeles: kui te ei näe kohe jagamisarvu (meie puhul on see 1), siis kirjutage ülaltoodud konstruktsioon välja, korrutage, ruudustage - ja lõpuks saate saada ilus ebavõrdsus. Sellest ebavõrdsusest selgub, milline arv on suurem ja milline väiksem.

Tulles tagasi meie probleemi juurde, tahaksin veel kord juhtida teie tähelepanu sellele, mida me oma võrrandi lahendamisel alguses tegime. Nimelt: vaatasime hoolikalt oma algset logaritmilist võrrandit ja proovisime seda taandada kanooniline logaritmiline võrrand. Kus on ainult logaritmid vasakul ja paremal - ilma lisaterminiteta, koefitsiendid ees jne. Meil ​​pole vaja kahte logaritmi, mis põhinevad a või b, vaid logaritmi, mis on võrdne teise logaritmiga.

Lisaks peavad ka logaritmide alused olema võrdsed. Veelgi enam, kui võrrand on õigesti koostatud, siis elementaarsete logaritmiliste teisenduste (logaritmide summa, arvu teisendamine logaritmiks jne) abil taandame selle võrrandi kanooniliseks.

Seega, kui näete nüüdsest logaritmilist võrrandit, mida ei saa kohe lahendada, ärge eksige ega proovige vastust välja mõelda. Kõik, mida pead tegema, on järgima neid samme.

1. Teisenda kõik vabad elemendid logaritmiks;
2. Seejärel lisa need logaritmid;
3. Saadud konstruktsioonis taandatakse kõik logaritmid samale alusele.

Selle tulemusena saate lihtsa võrrandi, mida saab lahendada elementaaralgebra tööriistade abil 8-9 klassi materjalidest. Üldiselt minge minu veebisaidile, harjutage logaritmide lahendamist, lahendage logaritmilisi võrrandeid nagu mina, lahendage need paremini kui mina. Ja see on minu jaoks kõik. Pavel Berdov oli teiega. Kohtumiseni jälle!