Nimetatakse nelinurka, mille ainult kaks külge on paralleelsed trapetsikujuline.

Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse trapetsiks põhjustel, ja neid külgi, mis pole paralleelsed, nimetatakse küljed. Kui küljed on võrdsed, on selline trapets võrdhaarne. Aluste vahelist kaugust nimetatakse trapetsi kõrguseks.

Keskmine joon trapets

Keskjoon on lõik, mis ühendab trapetsi külgmiste külgede keskpunkte. Trapetsi keskjoon on paralleelne selle alustega.

Teoreem:

Kui ühe külje keskosa läbiv sirgjoon on paralleelne trapetsi alustega, siis poolitab see trapetsi teise külje.

Teoreem:

Keskjoone pikkus võrdub selle aluste pikkuste aritmeetilise keskmisega

MN keskjoon, AB ja CD - alused, AD ja BC - külgmised küljed

MN = (AB + DC)/2

Teoreem:

Trapetsi keskjoone pikkus on võrdne selle aluste pikkuste aritmeetilise keskmisega.

Peamine ülesanne: Tõesta, et trapetsi keskjoon poolitab lõigu, mille otsad asuvad trapetsi aluste keskel.

Kolmnurga keskjoon

Kolmnurga kahe külje keskpunkte ühendavat lõiku nimetatakse kolmnurga keskjooneks. See on paralleelne kolmanda küljega ja selle pikkus võrdub poolega kolmanda külje pikkusest.
Teoreem: Kui kolmnurga ühe külje keskpunkti lõikuva sirge on paralleelne kolmnurga teise küljega, siis poolitab see kolmanda külje.

AM = MC ja BN = NC =>

Kolmnurga ja trapetsi keskjoone omaduste rakendamine

Segmendi jagamine teatud arvuks võrdseteks osadeks.
Ülesanne: Jaga lõik AB 5 võrdseks osaks.
Lahendus:
Olgu p juhuslik kiir, mille alguspunkt on punkt A ja mis ei asu sirgel AB. Jätame järjestikku kõrvale 5 võrdset segmenti p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Ühendame A 5 B-ga ja tõmbame läbi punktide A 4, A 3, A 2 ja A 1 sellised sirged, mis on paralleelsed punktiga A 5 B. Need lõikuvad punktiga AB vastavalt punktides B 4, B 3, B 2 ja B 1. Need punktid jagavad lõigu AB 5 võrdseks osaks. Tõepoolest, trapetsist BB 3 A 3 A 5 näeme, et BB 4 = B 4 B 3. Samamoodi saame trapetsist B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2

Kui trapetsist B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Siis B 2 AA 2-st järeldub, et B 2 B 1 = B 1 A. Kokkuvõtteks saame:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
On selge, et lõigu AB jagamiseks teiseks arvuks võrdseteks osadeks peame projitseerima sama palju võrdseid lõike kiirele p. Ja seejärel jätkake ülalkirjeldatud viisil.

Mõnikord ei pruugi koolis selgitatavad teemad alati esimesel korral selged olla. See kehtib eriti sellise õppeaine kohta nagu matemaatika. Kuid kõik muutub palju keerulisemaks, kui seda teadust hakatakse jagama kaheks osaks: algebraks ja geomeetriaks.

Igal õpilasel võib olla üks kahest valdkonnast, kuid eriti algklassides on oluline mõista nii algebra kui ka geomeetria aluseid. Geomeetrias peetakse üheks põhiteemaks kolmnurkade osa.

Kuidas leida kolmnurga keskjoont? Selgitame välja.

Põhimõisted

Alustuseks, et välja selgitada, kuidas kolmnurga keskjoont leida, on oluline mõista, mis see on.

Keskjoone tõmbamisel pole piiranguid: kolmnurk võib olla ükskõik milline (võrdhaarne, võrdkülgne, ristkülikukujuline). Ja kõik keskmise joonega seotud omadused kehtivad.

Kolmnurga keskjoon on segment, mis ühendab selle kahe külje keskpunkte. Seetõttu võib igal kolmnurgal olla 3 sellist joont.

Omadused

Et teada saada, kuidas kolmnurga keskjoont leida, määrame selle omadused, mida tuleb meeles pidada, vastasel juhul on ilma nendeta võimatu lahendada probleeme, mis on seotud vajadusega määrata keskjoone pikkus, kuna kõik saadud andmed peavad olema põhjendatud. ja vaidlesid teoreemide, aksioomide või omadustega.

Seega, et vastata küsimusele: "Kuidas leida kolmnurga ABC keskjoont?", piisab kolmnurga ühe külje teadmisest.

Toome näite

Vaata pilti. See näitab kolmnurka ABC keskmise joonega DE. Pange tähele, et see on paralleelne kolmnurga alusega AC. Seega, olenemata AC väärtusest, on keskmine rida DE poole suurem. Näiteks AC=20 tähendab DE=10 jne.

Nendel lihtsatel viisidel saate aru, kuidas leida kolmnurga keskjoont. Pidage meeles selle põhiomadusi ja määratlust ning siis pole teil kunagi probleeme selle tähenduse leidmisega.

Kolmnurga keskjoon on segment, mis ühendab selle kahe külje keskpunkte. Vastavalt sellele on igal kolmnurgal kolm keskmist joont. Teades keskjoone kvaliteeti, samuti kolmnurga külgede ja selle nurkade pikkusi, saate määrata keskjoone pikkuse.

Sa vajad

• Kolmnurga küljed, kolmnurga nurgad

Juhised

1. Olgu kolmnurgas ABC MN külgede AB (punkt M) ja AC (punkt N) keskpunkte ühendav keskjoon Omaduse järgi on kahe külje keskpunkte ühendava kolmnurga keskjoon paralleelne kolmanda küljega ja võrdne poolega. seda. See tähendab, et keskjoon MN on paralleelne küljega BC ja võrdne BC/2-ga. Järelikult piisab kolmnurga keskjoone pikkuse määramiseks selle konkreetse kolmanda külje külje pikkusest.

2. Olgu nüüd teada küljed, mille keskpunkte ühendab keskjoon MN ehk AB ja AC ning nendevaheline nurk BAC. Kuna MN on keskmine sirge, siis AM = AB/2 ja AN = AC/2 Siis vastavalt koosinusteoreemile objektiivselt: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Seega MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Kui küljed AB ja AC on teada, siis keskjoont MN saab leida teades nurka ABC või ACB. Oletame, et nurga ABC on kuulus. Kuna keskjoone MN omaduse järgi on paralleelne BC-ga, siis vastavad nurgad ABC ja AMN ning järelikult ABC = AMN. Seejärel koosinusteoreemiga: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Järelikult võib MN-poole leida ruutvõrrandist (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

2. nõuanne: kuidas leida ruudukujulise kolmnurga külg

Ruutkolmnurka nimetatakse õigemini täisnurkseks kolmnurgaks. Selle geomeetrilise kujundi külgede ja nurkade vahelisi seoseid käsitletakse üksikasjalikult trigonomeetria matemaatilises distsipliinis.

Sa vajad

• - paber;
• - pliiats;
• – Bradis lauad;
• - kalkulaator.

Juhised

1. Avastage pool ristkülikukujuline kolmnurk Pythagorase teoreemi toel. Selle teoreemi järgi on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga: c2 = a2+b2, kus c on hüpotenuus kolmnurk, a ja b on selle jalad. Selle võrrandi rakendamiseks peate teadma ristküliku mis tahes kahe külje pikkust kolmnurk .

2. Kui tingimused määravad jalgade mõõtmed, leidke hüpotenuusi pikkus. Selleks eraldage kalkulaatori abil jalgade summa ruutjuur, tehke igaüks neist eelnevalt ruudus.

3. Arvutage ühe jala pikkus, kui teate hüpotenuusi ja teise jala mõõtmeid. Kasutades kalkulaatorit, eraldage ruutjuur hüpotenuusi ruudu ja samuti esijala ruudu vahest.

4. Kui probleem määrab hüpotenuusi ja ühe sellega külgneva teravnurga, kasutage Bradise tabeleid. Need pakuvad trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi suure hulga nurkade jaoks. Kasutage siinus- ja koosinusfunktsioonidega kalkulaatorit, samuti trigonomeetria teoreeme, mis kirjeldavad ristküliku külgede ja nurkade vahelisi seoseid kolmnurk .

5. Leidke jalad põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide abil: a = c*sin?, b = c*cos?, kus a on nurga vastas olev jalg?, b on nurgaga külgnev jalg?. Samamoodi arvutage külgede suurus kolmnurk, kui on antud hüpotenuus ja teine ​​teravnurk: b = c*sin?, a = c*cos?, kus b on nurga vastas olev jalg? ja kas jalg külgneb nurgaga?.

6. Juhul, kui võtame jala a ja sellega külgneva teravnurga?, ärge unustage, et täisnurkses kolmnurgas on teravnurkade summa alati võrdne 90°: ? + ? = 90°. Leidke jala a vastasnurga väärtus: ? = 90° – ?. Või kasutage trigonomeetrilisi redutseerimisvalemeid: sin? = sin (90° – ?) = cos ?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. Kui meil on jalg a ja selle vastas olev teravnurk?, arvutage Bradise tabelite, kalkulaatori ja trigonomeetriliste funktsioonide abil hüpotenuus valemiga: c=a*sin?, jalg: b=a*tg?.

Video teemal

Kuidas leida kolmnurga keskpunkt: geomeetriaülesanne. Eukleidilise geomeetria peamised elementaarprobleemid jõudsid meile antiikajast. Need sisaldavad esmast olemust ennast ja vajalikke põhiteadmisi inimese ruumivormide tajumise kohta. Üks selline probleem on kolmnurga keskpunkti leidmise probleem. Tänapäeval peetakse seda probleemi kooliõpilaste intellektuaalsete võimete arendamiseks mõeldud haridustehnikaks. Antiikmaailmas kasutati kolmnurga keskkoha leidmise teadmisi ka praktikas: maakorralduses, erinevate mehhanismide valmistamisel jne. Mis on selle geomeetrilise rebuse olemus?

Mis on mediaan? Enne probleemi lahendamist peate tutvuma kolmnurkade osas kõige lihtsama geomeetrilise terminoloogiaga. Esiteks on igal kolmnurgal kolm tippu, kolm külge ja kolm nurka, millest tuleneb ka selle geomeetrilise kujundi nimi. Oluline on teada, kuidas nimetatakse sirgeid, mis ühendavad tippe vastaskülgedega: kõrgus, poolitaja ja mediaan.

Kõrgus on joon, mis on risti selle tipu vastasküljega, millest see tõmmatakse; poolitaja - jagab nurga pooleks; Mediaan jagab väljuva tipu vastaskülje pooleks. Selle ülesande lahendamiseks peate teadma, kuidas leida lõigu keskpunkti koordinaate, sest selle keskpunktiks on kolmnurga mediaanide lõikepunkt.

Leidke kolmnurga külgede keskpunktid. Lõigu keskpunkti leidmine on samuti klassikaline geomeetriline ülesanne, mille lahendamiseks vajate kompassi ja jaotusteta joonlauda. Asetame kompassi nõela lõigu lõpp-punkti ja viimase keskele joonistame poolringi, mis on suurem kui pool lõigust. Teeme sama segmendi teisel küljel. Saadud poolringid ristuvad tingimata kahes punktis, kuna nende raadiused on suuremad kui pool algsest lõigust.

Ühendame joonlaua abil kaks ringi ristumispunkti sirgjoonega. See joon lõikub algse lõiguga täpselt selle keskel. Nüüd, teades, kuidas leida segmendi keskosa, teeme seda kolmnurga mõlema küljega. Kui olete leidnud kolmnurga külgede kõik keskpunktid, olete valmis selle oma keskpunkti konstrueerima.

Ehitame kolmnurga keskosa. Ühendades kolmnurga tipud sirgjoontega vastaskülgede keskpunktidega, saame kolm mediaani. See võib mõnda üllatada, kuid üks selle geomeetrilise kujundi harmoonia seadusi on see, et kõik kolm mediaani lõikuvad alati ühes punktis. Just sellest punktist saab kolmnurga soovitud keskpunkt, mida pole nii raske leida, kui tead, kuidas lõigu keskpunkti konstrueerida.

Huvitav on ka see, et mediaanide lõikepunkt ei esinda mitte ainult kolmnurga geomeetrilist, vaid ka “füüsilist” keskosa. Ehk kui lõikad näiteks vineerist välja kolmnurga, leiad selle keskkoha ja asetad selle punkti nõela otsa, siis ideaalis selline kujund tasakaalustub ega kuku. Elementaarne geomeetria sisaldab palju selliseid põnevaid “saladusi”, mille tundmine aitab mõista ümbritseva maailma harmooniat ja keerukamate asjade olemust.

Kolmnurga keskjoone mõiste

Tutvustame kolmnurga keskjoone mõistet.

Definitsioon 1

See on segment, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte (joonis 1).

Joonis 1. Kolmnurga keskjoon

Kolmnurga keskjoone teoreem

1. teoreem

Kolmnurga keskjoon on paralleelne selle ühe küljega ja võrdne poolega sellest.

Tõestus.

Olgu meile antud kolmnurk $ABC$. $MN$ on keskmine joon (nagu joonisel 2).

Joonis 2. 1. teoreemi illustratsioon

Kuna $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, siis kolmnurgad $ABC$ ja $MBN$ on sarnased vastavalt kolmnurkade teisele sarnasuse kriteeriumile . Tähendab

Samuti järeldub, et $\angle A=\angle BMN$, mis tähendab $MN||AC$.

Teoreem on tõestatud.

Kolmnurga keskjoone teoreemi järeldused

Järeldus 1: Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis ja jagatakse lõikepunktiga suhtega $2:1$ alates tipust.

Tõestus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$, kus $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ on selle mediaanid. Kuna mediaanid jagavad küljed pooleks. Vaatleme keskjoont $A_1B_1$ (joonis 3).

Joonis 3. Järelduse 1 illustratsioon

Teoreemi 1 järgi $AB||A_1B_1$ ja $AB=2A_1B_1$, seega $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. See tähendab, et kolmnurgad $ABM$ ja $A_1B_1M$ on sarnased vastavalt kolmnurkade esimesele sarnasuse kriteeriumile. Siis

Samamoodi on tõestatud, et

Teoreem on tõestatud.

Järeldus 2: Kolmnurga kolm keskmist joont jagavad selle 4 algse kolmnurgaga sarnaseks kolmnurgaks sarnasuskoefitsiendiga $k=\frac(1)(2)$.

Tõestus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$ keskjoontega $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (joonis 4)

Joonis 4. Järelduse 2 illustratsioon

Vaatleme kolmnurka $A_1B_1C$. Kuna $A_1B_1$ on keskmine rida, siis

Nurk $C$ on nende kolmnurkade ühine nurk. Järelikult on kolmnurgad $A_1B_1C$ ja $ABC$ sarnased vastavalt sarnasuskoefitsiendiga $k=\frac(1)(2)$ kolmnurkade teisele sarnasuse kriteeriumile.

Samamoodi on tõestatud, et kolmnurgad $A_1C_1B$ ja $ABC$ ning kolmnurgad $C_1B_1A$ ja $ABC$ on sarnased sarnasuskoefitsiendiga $k=\frac(1)(2)$.

Vaatleme kolmnurka $A_1B_1C_1$. Kuna $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ on kolmnurga keskjooned, siis

Seetõttu on kolmnurkade sarnasuse kolmanda kriteeriumi kohaselt kolmnurgad $A_1B_1C_1$ ja $ABC$ sarnased sarnasuskoefitsiendiga $k=\frac(1)(2)$.

Teoreem on tõestatud.

Näited ülesannetest kolmnurga keskjoone mõiste kohta

Näide 1

Antud kolmnurk külgedega $16$ cm, $10$ cm ja $14$ cm Leia selle kolmnurga ümbermõõt, mille tipud asuvad antud kolmnurga külgede keskpunktides.

Lahendus.

Kuna soovitud kolmnurga tipud asuvad antud kolmnurga külgede keskpunktides, siis on selle küljed algse kolmnurga keskjooned. Järeldus 2 leiame, et soovitud kolmnurga küljed on võrdsed $8$ cm, $5$ cm ja $7$ cm.

Vastus:$20$ vt

Näide 2

Antud kolmnurk $ABC$. Punktid $N\ ja\ M$ on vastavalt külgede $BC$ ja $AB$ keskpunktid (joonis 5).

Joonis 5.

Kolmnurga ümbermõõt $BMN=14$ cm Leidke kolmnurga $ABC$ ümbermõõt.

Lahendus.

Kuna $N\ ja\ M$ on külgede $BC$ ja $AB$ keskpunktid, siis $MN$ on keskjoon. Tähendab

Teoreemi 1 järgi $AC=2MN$. Saame: