10x − 5y − 3z = − 9,

6 x + 4 y − 5 z = − 1,3 x − 4 y − 6 z = − 23.

Võrdlustame esimese ja teise võrrandi x koefitsiendid; selleks korrutage esimese võrrandi mõlemad pooled 6-ga ja teise võrrandi mõlemad pooled 10-ga, saame:

60x − 30 y − 18z = −54,60x + 40 y − 50z = −10.

Saadud süsteemi teisest võrrandist lahutame esimese võrrandi.

Seetõttu saame: 70 y − 32 z = 44, 35 y − 16 z = 22.

Algsüsteemi teisest võrrandist lahutame kolmanda võrrandi, mis on korrutatud 2-ga, saame: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12 a + 7z = 45.

Nüüd lahendame uue võrrandisüsteemi:

35a − 16z = 22,12a + 7z = 45.

Uue süsteemi esimesele võrrandile, korrutatuna 7-ga, lisame teise võrrandi, korrutatuna 16-ga, saame:

35 7 a + 12 16 a = 22 7 + 45 16,

Nüüd asendame algse süsteemi esimese võrrandiga y = 2, z = 3

teemad, saame: 10x − 5 2 − 3 3 = − 9, 10x − 10 − 9 = − 9, 10x = 10, x = 1.

Vastus: (1; 2;3). ▲

§ 3. Süsteemide lahendamine parameetrite ja moodulitega

ax + 4 y = 2 a,

Mõelge võrrandisüsteemile

x + ay = a.

2010-2011 õppeaasta aasta., nr 3, 8. klass. Matemaatika. Võrrandisüsteemid.

Selles süsteemis on tegelikult kolm muutujat, nimelt: a, x, y. x ja y loetakse tundmatuteks, a nimetatakse parameetriks. Selle süsteemi lahendused (x, y) tuleb leida iga parameetri a väärtuse jaoks.

Näitame, kuidas sellised süsteemid lahendavad. Avaldame süsteemi teisest võrrandist muutuja x: x = a − ay. Asendame selle väärtuse x-ga süsteemi esimeses võrrandis, saame:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Kui a = 2, siis saame võrrandi 0 y = 0. See võrrand on täidetud mis tahes arvuga y ja siis x = 2 − 2 y, st kui a = 2, siis arvupaar (2 − 2 y; y) on süsteemi lahendus. Kuna y võib olla

suvaline arv, siis on süsteemil a = 2 lõpmatult palju lahendeid.

Kui a = − 2, siis saame võrrandi 0 y = 8. Sellel võrrandil pole lahendust.

Vastus: Kui a = 2, on süsteemil lõpmatult palju lahendeid kujul (2 − 2 y; y), kus y on suvaline arv;

Lahendasime selle süsteemi ja tegime kindlaks, milliste parameetri a väärtuste jaoks on süsteemil üks lahendus, millal on lõpmatult palju lahendusi ja milliste parameetri a väärtuste jaoks pole lahendusi.

Näide 1: Lahendage võrrandisüsteem

© 2010, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 õppeaasta aasta., nr 3, 8. klass. Matemaatika. Võrrandisüsteemid.

© 2010, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 õppeaasta aasta., nr 3, 8. klass. Matemaatika. Võrrandisüsteemid.

Seega on süsteemil kaks lahendit (3;2) ja 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Ülesannete lahendamine võrrandisüsteemide abil

Näide 1. Auto sõidab linnast külla 2,5 tunniga. Kui ta tõstab kiirust 20 km/h, siis 2 tunniga läbib ta 15 km pikema distantsi kui vahemaa linnast külani. Leidke see kaugus.

Tähistame S-ga linna ja küla vahemaad ning V-ga auto kiirust. Seejärel S leidmiseks saame kahe võrrandi süsteemi

2,5 V = S,

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 õppeaasta aasta., nr 3, 8. klass. Matemaatika. Võrrandisüsteemid.

Vastus: 125 km. ▲

Näide 2. Kahekohalise arvu numbrite summa on 15. Kui need numbrid ära vahetada, saad numbri, mis on 27 võrra suurem kui originaal. Leidke need numbrid.

Olgu antud arv ab, s.t. kümnete arv on a ja ühtede arv b. Ülesande esimesest tingimusest saame: a + b = 15. Kui lahutame arvust ba arvu ab, saame 27, seega saame teise võrrandi: 10 b + a − (10 a + b) = 27. x

2010-2011 õppeaasta aasta., nr 3, 8. klass. Matemaatika. Võrrandisüsteemid.

Korrutame võrrandi mõlemad pooled 20-ga, saame: x + 8 y = 840. x ja y leidmiseks saame võrrandisüsteemi

Vastus: 40 t, 100 t. ▲

Näide 4. Arvutioperaator, töötades koos õpilasega, töötleb ülesande 2 tunni 24 minutiga. Kui operaator töötab 2 tundi ja õpilane 1 tund, siis

lapsed lõpetasid 2 3 kogu tööst. Kui kaua opereerimine aega võtab

ru ja õpilane eraldi ülesande töötlemiseks?

Tähistame kogu tööd 1-ga, operaatori tootlikkust x-ga ja õpilaste produktiivsust y-ga. Me arvestame sellega

2 tundi 24 minutit = 2 5 2 tundi = 12 5 tundi.

Ülesande esimesest tingimusest järeldub, et (x+y) 12 5 = 1. Ülesande teisest tingimusest järeldub, et 2 x + y = 2 3. Saime võrrandisüsteemi

© 2010, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Sihtmärk:

• kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemide kordamine
• defineerida parameetritega lineaarvõrrandisüsteem
• õpetab lahendama parameetritega lineaarvõrrandisüsteeme.

Tundide ajal

1. Aja organiseerimine
2. Kordamine
3. Uue teema selgitus
4. Konsolideerimine
5. Tunni kokkuvõte
6. Kodutöö

2. Kordamine:

I. Ühe muutujaga lineaarvõrrand:

1. Defineerige ühe muutujaga lineaarvõrrand

[Vorrandit kujul ax=b, kus x on muutuja, a ja b on mõned arvud, nimetatakse ühe muutujaga lineaarvõrrandiks]

2. Mitu juurt võib lineaarvõrrandil olla?

[- Kui a=0, b0, siis võrrandil pole lahendeid, x

Kui a=0, b=0, siis x R

Kui a0, siis on võrrandil kordumatu lahend x =

3. Uurige, mitu juurt võrrandil on (vastavalt valikutele)

II. Lineaarvõrrand 2 muutujaga ja lineaarvõrrandi süsteem 2 muutujaga.

1. Defineerige kahe muutujaga lineaarvõrrand. Too näide.

[Kahe muutujaga lineaarvõrrand on võrrand kujul ax + by = c, kus x ja y on muutujad, a, b ja c on mingid arvud. Näiteks x-y=5]

2. Mida nimetatakse kahe muutujaga võrrandi lahendamiseks?

[Kahe muutujaga võrrandi lahendus on muutujate väärtuste paar, mis muudab võrrandi tõeliseks võrduseks.]

3. Kas muutujate x = 7, y = 3 väärtuspaar on võrrandi 2x + y = 17 lahendus?

4. Kuidas nimetatakse kahe muutuja võrrandi graafikut?

[Kahe muutujaga võrrandi graafik on kõigi koordinaattasandi punktide hulk, mille koordinaadid on selle võrrandi lahendid.]

5. Uurige, milline on võrrandi graafik:

[Avaldame muutujat y kuni x: y=-1,5x+3

Valem y=-1,5x+3 on lineaarfunktsioon, mille graafik on sirgjoon. Kuna võrrandid 3x+2y=6 ja y=-1,5x+3 on samaväärsed, on see rida ka võrrandi 3x+2y=6 graafik]

6. Milline on muutujatega x ja y võrrandi ax+bу=c graafik, kus a0 või b0?

[Kahe muutujaga lineaarvõrrandi graafik, milles vähemalt üks muutujate koefitsient ei ole null, on sirgjoon.]

7. Mida nimetatakse kahe muutujaga võrrandisüsteemi lahendamiseks?

[Kahe muutujaga võrrandisüsteemi lahendus on muutujate väärtuste paar, mis muudab süsteemi iga võrrandi tõeliseks võrdsuseks]

8. Mida tähendab võrrandisüsteemi lahendamine?

[Võrrandisüsteemi lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või tõestamist, et lahendusi pole.]

9. Uurige, kas sellisel süsteemil on alati lahendusi ja kui on, siis kui palju (graafiliselt).

10. Mitu lahendit võib kahe muutujaga kahe lineaarvõrrandi süsteemil olla?

[Ainus lahendus on, kui sirged lõikuvad; ei oma lahendeid, kui sirged on paralleelsed; lõpmata palju, kui read langevad kokku]

11. Milline võrrand defineerib tavaliselt sirge?

12. Loo seos nurgakoefitsientide ja vabade terminite vahel:

Järeldus:

1. Kui nende funktsioonide graafikuteks olevate joonte nurkkoefitsiendid on erinevad, siis need sirged lõikuvad ja süsteemil on unikaalne lahendus.
2. Kui sirgete nurkkoefitsiendid on samad ja lõikepunktid y-teljega on erinevad, siis on sirged paralleelsed ja süsteemil pole lahendusi.
3. Kui nurkkoefitsiendid ja lõikepunktid y-teljega on samad, siis sirged langevad kokku ja süsteemil on lõpmata palju lahendeid.

Tahvlil on tabel, mida õpetaja ja õpilased järk-järgult täidavad.

III. Uue teema selgitus.

Definitsioon: Vaata süsteemi

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

kus A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 on parameetritest sõltuvad avaldised ning x ja y on tundmatud, nimetatakse kahe lineaarse algebralise võrrandi süsteemiks, mille parameetrites on kaks tundmatut.

Võimalikud on järgmised juhtumid:

1) Kui , siis on süsteemil ainulaadne lahendus

2) Kui , siis süsteemil pole lahendusi

3) Kui , siis on süsteemil lõpmatult palju lahendeid.

IV. Konsolideerimine

Näide 1.

Millistel parameetri a väärtustel süsteem töötab

• 2x - 3a = 7
• ah - 6a = 14

a) sellel on lõpmatu arv lahendeid;

b) omab ainulaadset lahendust

Vastus:

a) kui a=4, siis on süsteemil lõpmatu arv lahendeid;

b) kui a4, siis on ainult üks lahendus.

Näide 2.

Lahenda võrrandisüsteem

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Lahendus: a) , s.t. m1 jaoks on süsteemil ainulaadne lahendus.

b), st. m=1 (2=m+1) ja n1 puhul pole algsel süsteemil lahendusi

c) , m=1 ja n=1 korral on süsteemil lõpmatult palju lahendeid.

Vastus: a) kui m=1 ja n1, siis lahendeid pole

b) m=1 ja n=1, siis on lahend lõpmatu hulk

• y – ükskõik milline
• x=n-2y

c) kui m1 ja n on suvalised, siis

Näide 3.

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

Lahendus: võrrandist II leiame x = 1-аy ja asendame võrrandi I võrrandiga

а(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 a-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Võimalikud juhtumid:

1) a = 0. Siis näeb võrrand välja selline: 0*y=3 [y]

Seetõttu ei ole süsteemil a=0 jaoks lahendusi

2) a=-3. Siis 0*y=0.

Seetõttu y. Sel juhul x=1-ау=1+3у

3) a0 ja a-3. Siis y=-, x=1-a(-=1+1=2

Vastus:

1) kui a=0, siis (x; y)

2) kui a=-3, siis x=1+3y, y

3) kui a0 ja a?-3, siis x=2, y=-

Vaatleme süsteemi (1) teist lahendusmeetodit.

Lahendame süsteemi (1) algebralise liitmise meetodil: kõigepealt korrutame süsteemi esimese võrrandi B 2-ga, teise võrrandiga B 1 ja liidame need võrrandid termini haaval, kõrvaldades nii muutuja y:

Sest A 1 B 2 -A 2 B 1 0, siis x =

Nüüd elimineerime muutuja x. Selleks korrutage süsteemi (1) esimene võrrand A 2-ga ja teine ​​​​A 1-ga ning lisage mõlemad võrrandid termini kaupa:

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y = - A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 - A 1 C 2

sest A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Süsteemi (1) lahendamise mugavuse huvides tutvustame järgmist tähistust:

- peamine määraja

Nüüd saab süsteemi (1) lahenduse kirjutada determinantide abil:

Antud valemeid nimetatakse Crameri valemiteks.

Kui , siis süsteemil (1) on kordumatu lahendus: x=; y=

Kui , või , siis süsteemil (1) pole lahendusi

Kui , , , , siis süsteemil (1) on lõpmatu arv lahendeid.

Sel juhul tuleb süsteemi täiendavalt uurida. Sel juhul taandatakse see reeglina üheks lineaarvõrrandiks. Sel juhul on sageli mugav süsteemi uurida järgmiselt: võrrandit lahendades leiame parameetrite konkreetsed väärtused või väljendame ühte parameetritest teistega ja asendame need parameetrite väärtused. süsteem. Siis saame kindlate arvuliste koefitsientidega või väiksema arvu parameetritega süsteemi, mida tuleb uurida.

Kui süsteemi koefitsiendid A 1 , A 2 , B 1 , B 2 sõltuvad mitmest parameetrist, siis on süsteemi mugav uurida süsteemi determinantide abil.

Näide 4.

Kõigi parameetri a väärtuste jaoks lahendage võrrandisüsteem

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Lahendus: leiame süsteemi determinandi:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 - 4 21 42 = 3025 - 3582< 0.

Vastus: 1; 2.

§6. Moodulite ja parameetritega võrrandite lahendamine

Vaatleme mitut võrrandit, milles muutuja x esineb mooduli märgi all. Tuletagem seda meelde

x, kui x ≥ 0,

x = − x, kui x< 0.

Näide 1: lahendage võrrand:

a) x − 2 = 3; b) x + 1 - 2x - 3 = 1;

2010-2011 õppeaasta aasta., nr 5, 8. klass. Matemaatika. Ruutvõrrandid

Seetõttu on ainult number 3 lahendus originaalile

x< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

kutsutakse noah x võrrand parameetriga a. Võrrandi lahendamine parameetriga tähendab parameetri mis tahes vastuvõetava väärtuse korral antud võrrandi kõigi lahendite leidmist.

Näide 2. Lahendage parameetri a kõigi kehtivate väärtuste võrrand:

a) ax 2 - 3 = 4 a 2 - 2 x 2 ; b) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

avaldis 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

kas a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 ja a ≠ 3, siis on võrrandil kaks lahendit: x 1 = a + 3 ja x 2 = − a + 3.

© 2011, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

§7. Võrrandisüsteemide lahendamine. Ruutvõrranditeks taandavate ülesannete lahendamine

Selles jaotises käsitleme süsteeme, mis sisaldavad teise astme võrrandeid.

Näide 1. Lahenda võrrandisüsteem

2x + 3a = 8,

xy = 2.

Selles süsteemis on võrrand 2 x + 3 y = 8 esimese astme võrrand ja võrrand xy = 2 on teise astme võrrand. Lahendame selle süsteemi meetodi abil

© 2011, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 õppeaasta aasta., nr 5, 8. klass. Matemaatika. Ruutvõrrandid

asendused. Süsteemi esimesest võrrandist väljendame x kuni y ja asendame selle avaldise x-ga süsteemi teise võrrandiga:

Viimane võrrand taandub ruutvõrrandiks

8a − 3a 2 = 4, 3a 2 − 8a + 4 = 0.

Näide 2. Lahenda võrrandisüsteem:

x 2 + y 2 = 41,

xy = 20.

Korrutage teise võrrandi mõlemad pooled 2-ga ja lisage need esimesele

Kirjutame süsteemi teise võrrandi vormile

( x − y )( x + y ) = 5.

© 2011, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 õppeaasta aasta., nr 5, 8. klass. Matemaatika. Ruutvõrrandid

Kasutades võrrandit x − y = 1, saame: x + y = 5. Seega saame võrrandisüsteemi, mis on ekvivalentne etteantud

Saadud ruutvõrrandil pole lahendeid. Teise süsteemi jaoks on meil: x= 2 − y, (2 − y) y= − 8, y2 − 2 y− 8 = 0.

y= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y1 = 4, y2 = − 2. Siisx1 = − 2 Jax2 = 4. Vastus: (− 2;4 ) Ja(4; − 2 ) .

© 2011, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

korrutades 3-ga saame:

2010-2011 õppeaasta aasta., nr 5, 8. klass. Matemaatika. Ruutvõrrandid

Näide 5. Lahendage võrrandisüsteem:

x 2 + 4 xy = 3,

y 2 + 3 xy = 2.

Esimesest võrrandist, mis on korrutatud 2-ga, lahutage teine ​​võrrand,

2 x 2 − xy − 3 y 2 = 0.

Kui y= 0, siis ja x= 0, aga paar numbrit (0;0 ) ei ole lahendus algsele süsteemile. Jagame saadud võrrandi mõlemad pooled

Asendage väärtus x= − y süsteemi esimesse võrrandisse: y2 − 4 y2 = 3, − 3 y2 = 3.

Lahendusi pole.

Näide 9. Otsige üles kõik parameetrite väärtused a, mille jaoks võrrandisüsteem

x 2 + ( y − 2 ) 2 = 1,

y = kirves 2 .

on vähemalt üks lahendus.

Seda süsteemi nimetatakse parameetriga süsteemiks. Neid saab lahendada analüütiliselt, s.t. kasutades valemeid või kasutada nn graafilist meetodit.

Pange tähele, et esimene võrrand määratleb ringi, mille keskpunkt on punktis (0;2 ) raadiusega 1. Teine võrrand at a≠ 0 defineerib parabooli, mille tipp on algpunktis.

Kui a 2

Juhul a) parabool on ringjoone puutuja. Süsteemi teisest võrrandist tuleneb:

Puutuvuse korral on sümmeetria tõttu ainult üks väärtus y, seetõttu peab saadud võrrandi diskriminant olema

on võrdne 0. Kuna ordinaat y kokkupuutepunkt on positiivne jne.

Kui a> 2 + 2 3 , siis parabool lõikab ringi 4 punktis -

© 2011, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 õppeaasta aasta., nr 5, 8. klass. Matemaatika. Ruutvõrrandid

Seetõttu on süsteemil vähemalt üks lahendus, kui

a≥ 2 + 2 3 .

Näide 10. Mõne kahekohalise naturaalarvu numbrite ruutude summa on 9 suurem kui nende numbrite kahekordne korrutis. Pärast selle kahekohalise arvu jagamist selle numbrite summaga on jagatis 4 ja jääk 3. Leidke see kahekohaline arv.

Olgu kahekohaline arv 10 a+ b, Kus a Ja b- selle numbri numbrid. Seejärel saame probleemi esimesest tingimusest: a2 + b2 = 9 + 2 ab, ja teisest tingimusest saame: 10 a+ b= 4 (a+ b) + 3.

a 2 + b 2 = 9 + 2 ab ,

Lahendame võrrandisüsteemi: 6 a− 3 b= 3.

Süsteemi teisest võrrandist saame

6a− 3b= 3, 2a− b= 1, b= 2a− 1.

Asendage see väärtus väärtusega b süsteemi esimesele võrrandile:

a2 + ( 2a− 1) 2 = 9 + 2a( 2a− 1) , 5a2 − 4a+ 1 = 9 + 4a2 − 2a,

a2 − 2a− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, a= 1 ± 3, a1 = 4, a2 = − 2 < 0, b1 = 7.

Vastus: 47.

Näide 11. Pärast kahe lahuse segamist, millest üks sisaldas 48 g ja teine ​​20 g veevaba kaaliumjodiidi, saadi 200 g uut lahust. Leidke iga algse lahuse kontsentratsioon, kui esimese lahuse kontsentratsioon oli 15% suurem kui teise lahuse kontsentratsioon.

Tähistagem poolt x% on teise lahuse kontsentratsioon ja pärast seda (x+ 15 ) % – esimese lahuse kontsentratsioon.

Esimeses lahuses on 48 g (x+ 15 ) massiprotsenti kogu lahuse massist,

seetõttu on lahuse kaal x48 + 15 100. Teises lahuses 20 g kaas-

© 2011, FZFTSH, MIPT. Koostanud: Yakovleva Tamara Kharitonovna

TO ülesanded parameetriga See võib hõlmata näiteks lahenduste otsimist lineaar- ja ruutvõrranditele üldkujul, saadaolevate juurte arvu võrrandi uurimist sõltuvalt parameetri väärtusest.

Üksikasjalikke määratlusi andmata kaaluge näidetena järgmisi võrrandeid:

y = kx, kus x, y on muutujad, k on parameeter;

y = kx + b, kus x, y on muutujad, k ja b on parameetrid;

ax 2 + bx + c = 0, kus x on muutujad, a, b ja c on parameeter.

Võrrandi (võrratuse, süsteemi) lahendamine parameetriga tähendab reeglina lõpmatu võrrandikogumi (võrratuste, süsteemide) lahendamist.

Parameetriga ülesanded võib jagada kahte tüüpi:

A) tingimus ütleb: lahendage võrrand (ebavõrdsus, süsteem) - see tähendab, et parameetri kõigi väärtuste puhul tuleb leida kõik lahendused. Kui vähemalt üks juhtum jääb uurimata, ei saa sellist lahendust lugeda rahuldavaks.

b) on vaja näidata parameetri võimalikud väärtused, mille korral võrrandil (ebavõrdsus, süsteem) on teatud omadused. Näiteks on tal üks lahendus, ei ole lahendusi, on intervallile kuuluvad lahendid jne. Selliste ülesannete puhul tuleb selgelt näidata, millise parameetri väärtuse juures nõutav tingimus on täidetud.

Parameetril, mis on tundmatu fikseeritud arv, on omamoodi eriline duaalsus. Kõigepealt tuleb arvestada, et oletatav populaarsus viitab sellele, et parameetrit tuleb tajuda arvuna. Teiseks piirab parameetriga manipuleerimise vabadust selle ebaselgus. Näiteks parameetrit sisaldava avaldisega jagamise või sellisest avaldisest paarisastme juure eraldamise operatsioonid nõuavad eeluuringut. Seetõttu on parameetri käsitlemisel vaja olla ettevaatlik.

Näiteks kahe arvu -6a ja 3a võrdlemiseks peate arvestama kolme juhtumiga:

1) -6a on suurem kui 3a, kui a on negatiivne arv;

2) -6a = 3a juhul, kui a = 0;

3) -6a on väiksem kui 3a, kui a on positiivne arv 0.

Lahendus saab olema vastus.

Olgu võrrand kx = b antud. See võrrand on ühe muutujaga lõpmatu arvu võrrandite lühivorm.

Selliste võrrandite lahendamisel võib esineda juhtumeid:

1. Olgu k mis tahes reaalarv, mis ei ole võrdne nulliga, ja b suvaline arv R-st, siis x = b/k.

2. Olgu k = 0 ja b ≠ 0, algne võrrand on kujul 0 x = b. Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi.

3. Olgu k ja b arvud, mis on võrdsed nulliga, siis on võrdus 0 x = 0. Selle lahendiks on suvaline reaalarv.

Algoritm seda tüüpi võrrandi lahendamiseks:

1. Määrake parameetri "kontroll" väärtused.

2. Lahendage esimeses lõigus määratud parameetrite väärtuste jaoks algne võrrand x jaoks.

3. Lahendage x algvõrrand parameetrite väärtuste jaoks, mis erinevad esimeses lõigus valitud väärtustest.

4. Vastuse saate kirjutada järgmisel kujul:

1) ... (parameetri väärtused) korral on võrrandil juured ...;

2) ... (parameetrite väärtused) korral pole võrrandis juuri.

Näide 1.

Lahendage võrrand parameetriga |6 – x| = a.

Lahendus.

Siin on lihtne näha, et a ≥ 0.

Vastavalt mooduli 6 reeglile – x = ±a väljendame x:

Vastus: x = 6 ± a, kus a ≥ 0.

Näide 2.

Lahendage võrrand a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 muutuja x suhtes.

Lahendus.

Avame sulud: aх – а + 2х – 2 = 0

Kirjutame võrrandi standardkujul: x(a + 2) = a + 2.

Kui avaldis a + 2 ei ole null, st kui a ≠ -2, on meil lahendus x = (a + 2) / (a ​​+ 2), st. x = 1.

Kui a + 2 on võrdne nulliga, s.t. a = -2, siis on meil õige võrdus 0 x = 0, seega x on mis tahes reaalarv.

Vastus: x = 1, kui a ≠ -2 ja x € R, kui a = -2.

Näide 3.

Lahendage võrrand x/a + 1 = a + x muutuja x suhtes.

Lahendus.

Kui a = 0, siis teisendame võrrandi kujule a + x = a 2 + ax või (a – 1)x = -a(a – 1). Viimane võrrand a = 1 jaoks on kujul 0 x = 0, seega on x suvaline arv.

Kui a ≠ 1, siis on viimane võrrand kujul x = -a.

Seda lahendust saab illustreerida koordinaatjoonel (Joonis 1)

Vastus: a = 0 jaoks pole lahendeid; x – suvaline arv, mille a = 1; x = -a, kui a ≠ 0 ja a ≠ 1.

Graafiline meetod

Vaatleme teist võimalust võrrandite lahendamiseks parameetriga - graafiliselt. Seda meetodit kasutatakse üsna sageli.

Näide 4.

Olenevalt parameetrist a, mitu juurt moodustab võrrand ||x| – 2| = a?

Lahendus.

Graafilise meetodi abil lahendamiseks koostame funktsioonide y = ||x| graafikud – 2| ja y = a (Joonis 2).

Joonisel on selgelt näidatud sirge y = a asukoha võimalikud juhud ja juurte arv neist igaühes.

Vastus: võrrandil ei ole juuri, kui a< 0; два корня будет в случае, если a >2 ja a = 0; võrrandil on kolm juurt juhul, kui a = 2; neli juurt – 0 juures< a < 2.

Näide 5.

Mille korral on võrrand 2|x| + |x – 1| = a-l on üks juur?

Lahendus.

Kujutame funktsioonide y = 2|x| graafikuid + |x – 1| ja y = a. Kui y = 2|x| + |x – 1|, laiendades mooduleid intervallmeetodi abil, saame:

(-3x + 1, x< 0,

y = (x + 1, kui 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, kui x > 1.

Peal Joonis 3 On selgelt näha, et võrrandil on üks juur ainult siis, kui a = 1.

Vastus: a = 1.

Näide 6.

Määrake võrrandi |x + 1| lahendite arv + |x + 2| = a sõltuvalt parameetrist a?

Lahendus.

Funktsiooni y = |x + 1| graafik + |x + 2| on katkendlik joon. Selle tipud asuvad punktides (-2; 1) ja (-1; 1) (Joonis 4).

Vastus: kui parameeter a on väiksem kui üks, siis võrrandil ei ole juuri; kui a = 1, siis on võrrandi lahend lõpmatu arvude hulk lõigust [-2; -1]; kui parameetri a väärtused on suuremad kui üks, on võrrandil kaks juurt.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas parameetriga võrrandeid lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

“Lineaarne võrrand kahes muutujas” – kahte muutujat sisaldavat võrrandit nimetatakse kahe muutuja võrrandiks. - Kuidas nimetatakse kahe muutujaga võrrandit? Too näiteid. -Millist kahe muutujaga võrrandit nimetatakse lineaarseks? Lineaarvõrrand kahe muutujaga. Definitsioon: Algoritm, mis tõestab, et antud arvupaar on võrrandi lahend:

“Eksponentvõrrandite lahendamine” – taandamine ühele alusele. Bracketing. T. Vieta. Graafiline meetod. Eksponentvõrrand on võrrand, mis sisaldab astendajaga muutujat. Eksponentvõrrandite lahendamine. Suuline töö. ab+ac=a(b+c). kraadid. 2.Lahendage võrrand: Omadus. Eksponentvõrrandite liigid ja lahendamise meetodid.

“Graafiline meetod võrrandite lahendamiseks” - Vastus: üks juur, x = -1. Kaks juurt. Lahendage graafiliselt võrrand (x+1)/(x-2)=2. Joonistage funktsiooni y=x?+6x+8 graafik. Võrrandite graafilise lahendamise töötuba Ettevalmistus testiks. Funktsioonide graafikute koostamine. Joonistage funktsioon y=(x+1)/(x-2). 1. Liigutage 8 võrrandi paremale poole. Juured puuduvad.

"Terve võrrandite lahendamine" - "Võrrandid, milles on juured, astmed ja ebavõrdsuse kuristik. Kolm suurepärast matemaatikut. Edu võrrandite lahendamise meetodite edasisel õppimisel. Telgsümmeetria on omane enamikule taime- ja loomaliikidele. Keskne. Loomamaailmas on 2 tüüpi sümmeetriat. Dikteerimine. Aksiaalne. Tuvastage võrrandite lahendamise meetodid.

"Logaritmidega võrrandid" - logaritmilised võrrandid. Lahendage võrrandeid suuliselt. Valemid logaritmide teisendamiseks. Võrrand. Definitsioon. Logaritmi tabelid. Logaritmi definitsioon. Logaritmi definitsioon ja omadused. Logaritmiline joonlaud. Funktsioon. Kõrvaklapid või kõlarid. Domeen. Lähenemisviisid lahendusele. Lahenda võrrand. Gümnaasium.

“Irratsionaalsed võrrandid” – kontrollimiseks täideti: nr 419 (c, d) Safiullina, nr 418 (c, d) Kulmukhametov, nr 420 (c, d) Šagejev. 2. tund Võrrandisüsteemide lahendamine. 1. tunni teema: Irratsionaalvõrrandite lahendamine. 1.Millised järgmistest võrranditest on irratsionaalsed: Eesmärgid: tutvustada õpilastele teatud tüüpi irratsionaalvõrrandi lahendusi.

Kokku on 49 ettekannet