Fraktal boyut hakkında bilgi veren şey. Fraktal yüzeylerin boyutu. Fraktal Boyut Göstergesi DYY

"Fraktal" ve "fraktal geometri" kavramları geçen yüzyılın 70-80'lerinde ortaya çıktı. Matematikçilerin ve programcıların günlük yaşamına sıkı bir şekilde girdiler. "Fraktal" kelimesi, parçalardan oluşan, kesirli anlamına gelen Latince fractus kelimesinden gelir. Amerikalı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından 1975'te incelediği düzensiz ("kırık") kendine benzer yapıları belirtmek için önerildi.

Mandelbrot'un verdiği tanıma göre "fraktal, bir anlamda bütüne benzeyen parçalardan oluşan bir yapıdır." Fraktal, her bir parçası ölçek küçültüldüğünde tekrarlanan, sonsuz derecede kendine benzeyen geometrik bir şekildir (bkz. Şekil 6). Fraktallarda gözlemlenen ölçek değişmezliği kesin veya yaklaşık olabilir.

Şekil 6. Mandelbrot kümesi örneğinde fraktalların kendine benzerliği

Matematiksel açıdan bakıldığında, fraktal her şeyden önce bir dizi kesirli boyuttur.

Fraktal geometrinin doğuşu genellikle, yazarın 1875-1925 döneminde çalışan bilim adamlarının bilimsel sonuçlarını toplayıp sistematik hale getirdiği Mandelbrot'un "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabının 1977'de yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. aynı bölgede (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Fraktal geometri matematikte ve doğanın matematiksel tanımında bir devrimdir. Fraktal geometrinin kaşifi B. Mandelbrot bu konuda şöyle yazıyor: “Geometri neden genellikle soğuk ve kuru olarak adlandırılıyor? Bunun bir nedeni, bir bulutun, bir dağın, bir ağacın veya bir deniz kıyısının şeklini tarif edememesidir. Bulutlar küre değildir, dağlar koni değildir, kıyı şeritleri daire değildir, yer kabuğu pürüzsüz değildir ve şimşek düz bir çizgide ilerlemez. Doğa bize sadece daha yüksek bir seviye değil, tamamen farklı bir karmaşıklık seviyesi de gösteriyor.

Mandelbrot, gerçek dünyanın geometrisinin Öklidyen değil fraktal olduğunu gösterdi. "Düzenli" Öklid nesneleri matematiksel bir soyutlamadır; doğa ise düzgün olmayan, pürüzlü, pürüzlü şekilleri tercih eder. Öklid geometrisine yeni bir geometri eklenmiştir; bunun farkı, pürüzsüz nesnelerle ve üçgen, kare, daire, top vb. gibi tanıdık şekillerle çalışmamasıdır. Fraktallar birçok fiziksel olayı ve doğal oluşumu büyük bir doğrulukla tanımlar. Fraktallar kullanılarak bir kar tanesi, bir denizatı, ağaç dalları, bir şimşek ve dağ sıraları çizilebilir. Bu nedenle birçok modern bilim adamı doğanın fraktallık özelliğine sahip olduğunu söylüyor.

Fraktal boyut

Fraktal nesnelerin ana özelliği, “standart” topolojik boyutun (uzay için, yüzey için, çizgi için, nokta için) onları tanımlamak için yeterli olmamasıdır ki bu, bildiğiniz gibi her zaman bir tam sayıdır. Boyut, uzaydaki bir noktanın konumunu tanımlamak için gereken minimum parametre sayısı olarak anlaşıldı. Böylesine naif bir algının başarısızlığı, parçanın noktaları ile kare arasındaki birebir ilişkinin keşfedilmesi ve parçanın kareye sürekli eşlenmesinin ardından ortaya çıktı (bkz. Şekil 7). Bunlardan ilki Kantor (1877), ikincisi Peano (1890) tarafından yaptırılmıştır.

Şekil 7. Peano hattının inşaatı

Fraktallar geometrik bir "girinti" ile karakterize edilir. Bu nedenle F. Hausdorff ve A.S. tarafından tanıtılan özel bir fraktal boyut kavramı. Beşikovich. Klasik Öklid geometrisinin ideal nesnelerine uygulandığında topolojik boyutla aynı sayısal değerleri verdi ancak yeni boyut, gerçek nesnelerdeki her türlü kusura karşı daha hassas bir duyarlılığa sahipti ve daha önce olanı ayırt etmeyi ve kişiselleştirmeyi mümkün kılıyordu. yüzsüz ve ayırt edilemezdi. Bu incelikli araç, hangi sıradan geometrik nesnenin (bir nokta, çizgi veya düzlem) belirli bir egzotik fraktal kümeye daha yakın olduğu sonucuna varmanızı sağlar.

Mandelbrot, Hausdorff boyutu topolojik boyutundan kesinlikle daha büyük olan bir küme olarak fraktalın kesin bir matematiksel tanımını yaptı. Pürüzsüz bir Öklid çizgisi tam olarak tek boyutlu uzayı doldururken, fraktal bir eğri iki boyutlu uzayın içine girer çünkü boyutu 1 ile 2 arasındadır. Fraktallar sonsuzca kırık, "çift" çizgilerdir. Bir akordeona benziyorlar; her parçası, çok küçük bir parçası bile, düzeltmeye çalışırsanız sonsuz uzunlukta olduğu ortaya çıkıyor.

Fraktal boyutu düzenli fraktallar (matematiksel soyutlama) örneği üzerinde tartışalım. Öncelikle birim uzunluktaki bir parçanın eşit uzunluktaki parçalara bölündüğünü düşünün. Azaldıkça değer doğrusal olarak artar; bu, tek boyutlu bir eğri için beklenen bir durumdur. Benzer şekilde birim alanın karesini bir kenarı eşit karelere bölersek iki boyutlu bir cisim için beklenen sonucu elde ederiz. Genel durumda nesnenin boyutunun nerede olduğu tartışılabilir (bkz. Şekil 8).

Şekil 8. Nesnenin n boyutlu küplerle kaplanması

Dolayısıyla bu eşitliğin her iki kısmının logaritmasını alıp sıfıra eğilimli limite geçerek boyutu şu şekilde ifade edebiliriz:

Bu eşitlik, genellikle kesirli değerler alan Hausdorff veya fraktal boyutun tanımıdır.

Bireysel noktalardan oluşan, ancak gerçek eksenin herhangi bir parçası kadar sayıda noktaya sahip olan bir küme örneği verelim. 1 uzunluğunda bir parça alın. Üç eşit parçaya bölerek orta kısmı hariç tutuyoruz. Kalan iki segmentle aynı işlemi yapacağız ve sonuç olarak her biri 1/9 uzunluğunda 4 segment elde edeceğiz. sonsuza kadar - Şek. 9.

Şekil 9. Cantor setinin yapısı

Bu prosedür sonucunda oluşan noktalar kümesi Cantor kümesidir. Bu kümenin uzunluğunun sıfıra eşit olduğunu görmek kolaydır. Gerçekten mi,

Şimdi onun Hausdorff veya fraktal boyutunu bulalım. Bunu yapmak için uzunluğa sahip bir segmenti “standart” olarak seçiyoruz.

Seti kapsamak için gerekli olan bu tür bölümlerin minimum sayısı:

Bu nedenle fraktal boyutu

Ayrıca boyut, nesnenin kapladığı alanın o bölümünün boyutundaki değişimin doğrusal boyutlarındaki değişime bağlılığına bağlı olarak belirlenebilir:

Hat için. Bir uçak için. Hacim için.

Şu deneyi yapalım: Bir eşkenar üçgen alalım ve onu oluşturan her çizgiyi Şekil 10'da gösterildiği gibi sırasıyla dört çizgiyle değiştirelim.

Şekil 10. Koch kar tanesi yapımı

Bu işlemi yeterince uzun tekrarladığımızda, görünümü kar tanesine benzeyen bir nesne elde edeceğiz (buna Koch kar tanesi denir) ve her adımda kar tanesinin alanını sınırlayan eğrinin uzunluğu üçte bir oranında artar. Boyutu eşit olacaktır, çünkü kar tanesindeki her üç kat artış için eğrinin uzunluğu dört kat artar. Tekrarlama sayısını sonsuza bırakırsak, sonlu alanı sonsuz bir eğri ile sınırlanan bir nesne elde ederiz.

• 07 Ekim 2016, 15:50
• Markin Pavel
• Fok

Fiyat serisi için Minkowski boyutunun yaklaşık değerini hesaplamaya yönelik basitleştirilmiş bir algoritma.

Hızlı referans:

Minkowski boyutu, aşağıdaki gibi tanımlanan bir metrik uzayda sınırlı bir kümenin fraktal boyutunu belirtmenin yollarından biridir:

• burada N(ε), orijinal seti kapsayabilen ε çapındaki minimum set sayısıdır.

Minkowski boyutunun başka bir adı daha var: kutu sayma boyutu, çünkü onu tanımlamanın alternatif yolu, bu arada, bu boyutun nasıl hesaplanacağına dair bir ipucu veriyor. İki boyutlu durumu ele alalım, ancak benzer bir tanım n boyutlu durum için de geçerlidir. Metrik uzaydaki bazı sınırlı kümeleri (örneğin, siyah beyaz bir resim) alalım, üzerine ε adımıyla tekdüze bir ızgara çizelim ve istenen kümenin en az bir elemanını içeren ızgara hücrelerini renklendirelim. ε ise, logaritma oranının değişim hızı incelenerek Minkowski boyutu yukarıdaki formülle hesaplanacaktır.

• Yorum
• Yorumlar (23)

Fraktal Boyut Göstergesi DYY

• 16 Nisan 2012, 18:17
• grafikçi
• Fok

Eric Long'dan uyarlanmıştır.

Bu yazıda fraktal analiz teorisini (Peters, Mandelbrot'un çalışmaları) pratik kullanım için "çevirmek" için bir girişimde bulunulmaktadır.
Kaos her yerde var: Şimşek çakmalarında, hava koşullarında, depremlerde ve finansal piyasalarda. Kaotik olaylar rastlantısal gibi görünebilir ama aslında öyle değil. Kaos, rastgele gibi görünen ama aslında düzenin en yüksek biçimi olan dinamik bir sistemdir.
Özel, devlet ve finans kurumları da dahil olmak üzere sosyal ve doğal sistemlerin tümü bu kategoriye girmektedir. İnsanların oluşturduğu sistemlerin her birinde, sistemi en öngörülemeyen şekilde etkileyen, birbirine bağlı birçok girdi vardır.
Kaos teorisini ticarete uygulanışı açısından tartıştığımızda, piyasada rastgele görünen ancak bir dereceye kadar öngörülebilir bir olayı tanımlamayı hedefliyoruz. Bunu yapabilmek için kaotik düzeni temsil etmemizi sağlayacak bir araca ihtiyacımız var. Bu araç bir fraktaldır. Fraktallar kendine benzer ayrı parçalara sahip nesnelerdir. Piyasada bir fraktal, 3 dakikalık, 30 dakikalık, 3 günlük gibi farklı zaman aralıklarında birbirine benzeyen bir nesne veya "zaman serisi" olarak adlandırılabilir. Nesneler çalışmanın farklı ölçeklerinde birbirinden farklılık gösterebilir ancak ayrı ayrı ele alırsak tüm zaman aralıkları için ortak özelliklere sahip olmaları gerekir.

Çoğu zaman Forex piyasasında farklı para birimleri arasındaki bağlantıdan bahsedildiğini duyarız.

Bu durumda ana tartışma genellikle temel faktörlere, pratik deneyime veya konuşmacının kişisel stereotiplerinden kaynaklanan basit spekülasyonlara indirgenir. Aşırı bir örnek olarak, bir veya daha fazla "dünya" para biriminin diğerlerini "çektiği" hipotezi vardır.

Aslında farklı alıntılar arasındaki ilişki nedir? Koordineli bir şekilde mi hareket ediyorlar yoksa bir para biriminin hareket yönüne ilişkin bilgi diğerinin hareketi hakkında hiçbir şey söylemeyecek mi? Bu makale, doğrusal olmayan dinamik ve fraktal geometri yöntemlerini kullanarak bu konuyu anlamaya çalışmaktadır.

1. Teorik kısım

1.1. Bağımlı ve bağımsız değişkenler

İki değişkeni (tırnak işaretleri) x ve y olarak düşünün. Zamanın herhangi bir noktasında bu değişkenlerin anlık değerleri XY düzleminde bir noktayı tanımlar (Şekil 1). Bir noktanın zaman içindeki hareketi bir yörünge oluşturur. Bu gidişatın şekli ve türü değişkenler arasındaki ilişkinin türüne göre belirlenecektir.

Örneğin, x değişkeni y değişkeniyle hiçbir şekilde ilişkili değilse, o zaman herhangi bir düzenli yapı görmeyeceğiz: yeterli sayıda nokta ile XY düzlemini eşit şekilde dolduracaklar (Şekil 2).

X ve y arasında bir ilişki varsa, o zaman bazı düzenli yapılar görünür olacaktır: en basit durumda bu bir eğri olacaktır (Şekil 3),

Şekil 3. Korelasyonların varlığı- eğri

ancak daha karmaşık bir yapı da olabilir (Şekil 4).

Aynı şey üç boyutlu veya daha fazla boyutlu bir uzay için de geçerlidir: tüm değişkenler arasında bir bağlantı veya bağımlılık varsa, o zaman noktalar bir eğri oluşturacaktır (Şekil 5), eğer kümede iki bağımsız değişken varsa, o zaman noktalar bir yüzey oluşturur (Şekil 6) eğer üçse - o zaman noktalar üç boyutlu alanı dolduracaktır, vb.

Değişkenler arasında bağlantı yoksa noktalar mevcut tüm boyutlara eşit olarak dağıtılacaktır (Şekil 7). Böylece noktaların boşluğu nasıl doldurduğunu belirleyerek değişkenler arasındaki ilişkinin doğasını yargılayabiliriz.

Üstelik ortaya çıkan yapının şekli (çizgiler, yüzeyler, üç boyutlu şekiller vb.) bu durumda önemli değil.

Önemli Fraktal boyut Bu yapı: bir çizginin boyutu 1'dir, bir yüzeyin boyutu 2'dir, hacim yapısının boyutu 3'tür vb. Genellikle fraktal boyutun değerinin veri setindeki bağımsız değişken sayısına karşılık geldiği düşünülebilir.

Ayrıca kesirli bir boyutla da karşılaşabiliriz, örneğin 1,61 veya 2,68. Ortaya çıkan yapı şu şekilde olursa bu gerçekleşebilir: fraktal- tamsayı olmayan boyuta sahip kendine benzer küme. Bir fraktal örneği Şekil 8'de gösterilmektedir, boyutu yaklaşık olarak 1,89'a eşittir, yani. artık bir çizgi değil (boyut 1), ancak henüz bir yüzey değil (boyut 2).

Fraktal boyut, aynı küme için farklı ölçeklerde farklı olabilir.

Örneğin Şekil 9'da gösterilen kümeye "uzaktan" bakarsanız bunun bir çizgi olduğunu açıkça görebilirsiniz. bu kümenin fraktal boyutu bire eşittir. Aynı "yakındaki" kümeye bakarsak, bunun bir çizgi değil, "belirsiz bir boru" olduğunu göreceğiz - noktalar net bir çizgi oluşturmuyor, ancak onun etrafında rastgele toplanıyor. Bu "borunun" fraktal boyutu, yapımızı düşündüğümüz alanın boyutuna eşit olmalıdır çünkü "boru" içindeki noktalar mevcut tüm boyutları eşit şekilde dolduracaktır.

Fraktal boyutun küçük ölçeklerde arttırılması, sistemdeki rastgele gürültü nedeniyle değişkenler arasındaki ilişkilerin ayırt edilemez hale geldiği boyutun belirlenmesini mümkün kılar.

Şekil 9. Fraktal bir "boru" örneği

1.2. Fraktal boyutun tanımı

Fraktal boyutu belirlemek için, kümenin noktalarını içeren küp sayısının küpün kenarının boyutuna bağımlılığının incelenmesine dayanan kutu sayma algoritmasını kullanabilirsiniz (burada mutlaka üç boyutlu küpleri kastetmiyoruz). : tek boyutlu uzayda “küp” bir parça olacaktır, iki boyutlu uzayda ise bir kare vb.).

Teorik olarak bu bağımlılık N(ε)~1/ε D şeklindedir; burada D kümenin fraktal boyutu, ε küpün kenarının boyutu, N(ε) noktaları içeren küplerin sayısıdır. ε küp büyüklüğündeki küme. Bu bize fraktal boyutu belirlememizi sağlar

Algoritmanın detaylarına girmeden işleyişi şu şekilde anlatılabilir:

İncelenen noktalar kümesi ε boyutunda küplere bölünür ve kümenin en az bir noktasını içeren N küplerinin sayısı sayılır.

Farklı ε için karşılık gelen N değeri belirlenir, yani, N(ε) bağımlılığını çizmek için veriler toplanır.

Bağımlılık N(ε) çift logaritmik koordinatlarda oluşturulur ve fraktal boyutun değeri olacak eğim açısı belirlenir.

Örneğin, Şekil 10'da iki set gösterilmektedir: düz bir şekil (a) ve bir çizgi (b). Ayar noktalarını içeren hücreler gri renktedir. Farklı hücre boyutlarındaki "gri" hücrelerin sayısını sayarak Şekil 11'de gösterilen bağımlılıkları elde ederiz. Bu bağımlılıklara yaklaşan düz çizgilerin eğimini belirleyerek fraktal boyutları buluruz: Dа≈2, Db≈1.

Pratikte fraktal boyutu belirlemek için genellikle kutu sayımı değil Grassberg-Procaccia algoritması kullanılır, çünkü yüksek boyutlu uzaylarda daha doğru sonuçlar verir. Algoritmanın amacı, C(ε) bağımlılığını elde etmektir - kümenin iki noktasının hücre boyutu üzerindeki ε boyutunda bir hücreye düşme olasılığı ve bu bağımlılığın doğrusal bölümünün eğimini belirlemek.

Ne yazık ki bu makale çerçevesinde boyut tanımının tüm yönleriyle ele alınması mümkün değildir. İsterseniz gerekli bilgileri özel literatürde bulabilirsiniz.

1.3. Fraktal boyutu tanımlamaya bir örnek

Önerilen tekniğin işe yaradığından emin olmak için Şekil 9'da gösterilen kümenin gürültü düzeyini ve bağımsız değişken sayısını belirlemeye çalışalım. Bu üç boyutlu küme 3000 noktadan oluşur ve gürültülü bir çizgidir (bir bağımsız değişken) üzerine bindirilmiştir. Gürültü, RMS'nin 0,01'e eşit olduğu normal bir dağılıma sahiptir.

Şekil 12, C(ε)'nin logaritmik ölçeğe bağımlılığını göstermektedir. Üzerinde ε≈2 -4.6 ≈0.04'te kesişen iki doğrusal kesit görüyoruz. İlk doğrunun eğimi ≈2,6, ikincisi ise ≈1,0'dır.

Elde edilen sonuçlar, test setinin 0,0'dan büyük bir ölçekte bir bağımsız değişkene ve 0,04'ten küçük bir ölçekte "neredeyse üç" bağımsız değişkene veya takma gürültüye sahip olduğu anlamına gelir. Bu orijinal verilerle iyi bir uyum içindedir: "üç sigma" kuralına göre noktaların %99,7'si 2*3*0,01≈0,06 çapında bir "boru" oluşturur.

Şekil 12. Logaritmik ölçekte bağımlılık C(e)

2. Pratik kısım

2.1. İlk veri

Forex piyasasının fraktal özelliklerini incelemek için halka açık veriler kullanıldı,2000 ile 2009 yılları arasındaki dönemi kapsamaktadır. Çalışma yedi ana döviz çiftinin kapanış fiyatları üzerinde gerçekleştirildi: EURUSD, USDJPY, GBPUSD, AUDUSD, USDCHF, USDCAD, NZDUSD.

2.2. Uygulama

Fraktal boyutun belirlenmesine yönelik algoritmalar, Profesör Michael Small'un (Dr Michael Small) geliştirmelerine dayanarak MATLAB ortamının işlevleri olarak uygulanmaktadır. ). Kullanım örnekleriyle birlikte işlevler bu makaleye eklenen frac.rar arşivinde mevcuttur.

Hesaplamaları hızlandırmak için en çok zaman alan adım C dilinde gerçekleştirilir. Kullanmadan önce "interbin.c" C fonksiyonunu MATLAB "mex interbin.c" komutunu kullanarak derlemeniz gerekir.

2.3. Araştırma sonuçları

Şekil 13, EURUSD ve GBPUSD kotasyonlarının 2000'den 2010'a kadar olan ortak hareketini göstermektedir. Alıntı değerlerinin kendisi Şekil 14 ve 15'te gösterilmektedir.

Şekil 13'te gösterilen kümenin fraktal boyutu yaklaşık 1,7'dir (Şekil 16). Bu, EURUSD + GBPUSD hareketinin olduğu anlamına gelir "saf" bir rastgele yürüyüş oluşturmaz, aksi takdirde boyut 2'ye eşit olur (iki veya daha fazla boyutlu uzaylarda rastgele yürüyüşün boyutu her zaman 2'ye eşittir).

Bununla birlikte, kotasyonların hareketi rastgele yürüyüşe çok benzediğinden, kotasyon değerlerini doğrudan kendimiz inceleyemeyiz - yeni döviz çiftleri eklendiğinde fraktal boyut biraz değişir (Tablo 1) ve hiçbir sonuca varılamaz.

Tablo 1. Para birimi sayısındaki artışla boyuttaki değişim

Daha ilginç sonuçlar elde etmek için alıntıların kendisinden değişikliklerine gitmelisiniz.

Tablo 2, farklı artış aralıkları ve farklı sayıda döviz çifti için boyut değerlerini göstermektedir.

Tablo 2. Farklı artış aralıklarında boyut değişimi

Para birimleri birbirine bağlıysa, her yeni döviz çiftinin eklenmesiyle fraktal boyut daha az artmalı ve sonuç olarak döviz piyasasındaki "serbest değişkenlerin" sayısını gösterecek belirli bir değere yaklaşmalıdır. .

Ayrıca, "piyasa gürültüsünün" tırnakların üzerine bindirildiğini varsayarsak, o zaman küçük aralıklarla (M5, M15, M30) mevcut tüm ölçümleri gürültüyle doldurmak mümkündür ve bu etki, büyük zaman dilimlerinde zayıflayarak, "ortaya çıkar". tırnak işaretleri arasındaki bağımlılıklar (test örneğindekine benzer şekilde).

Tablo 2'den görülebileceği gibi, bu hipotez gerçek verilerle doğrulanmadı: tüm zaman dilimlerinde set mevcut tüm ölçümleri dolduruyor; Tüm para birimleri birbirinden bağımsızdır.

Bu, para birimlerinin bağlantısı hakkındaki sezgisel inançlara biraz aykırıdır. GBP ve CHF veya AUD ve NZD gibi yakın para birimlerinin de benzer dinamikler göstermesi bekleniyor. Örneğin, Şekil 17, NZDUSD artışlarının beş dakikalık (korelasyon katsayısı 0,54) ve günlük (korelasyon katsayısı 0,84) aralıklarla AUDUSD'ye bağımlılığını göstermektedir.

Şekil 17. M5 (0,54) ve D1 (0,84) aralıkları için NZDUSD artışlarının AUDUSD'ye bağımlılığı

Bu şekilde aralığın artmasıyla bağımlılığın çapraz olarak daha fazla gerildiği ve korelasyon katsayısının arttığı görülmektedir. Ancak fraktal boyutun "bakış açısından" gürültü seviyesi, bu bağımlılığı tek boyutlu bir çizgi olarak kabul edemeyecek kadar yüksektir. Belki daha uzun aralıklarla (haftalar, aylar) fraktal boyutlar belirli bir değere yakınlaşacaktır, ancak bunu kontrol etmenin bir yolu yoktur; boyutu belirlemek için çok az nokta vardır.

Çözüm

Tabii ki, para birimlerinin hareketini bir veya daha fazla bağımsız değişkene indirgemek daha ilginç olurdu - bu, piyasa çekicisini geri yükleme ve teklifleri tahmin etme görevini büyük ölçüde basitleştirecektir. Ancak pazar farklı bir sonuç gösteriyor: bağımlılıklar zayıf bir şekilde ifade ediliyor ve çok fazla gürültünün içinde "iyi gizleniyor". Bu bakımdan piyasa oldukça verimli.

Tıp, fizik, kimya, biyoloji vb. gibi diğer alanlarda sürekli olarak iyi sonuçlar veren doğrusal olmayan dinamik yöntemleri, piyasa fiyatlarını analiz ederken özel dikkat ve sonuçların doğru yorumlanmasını gerektirir.

Elde edilen sonuçlar, para birimleri arasında bir ilişkinin varlığını veya yokluğunu kesin olarak belirtmemize izin vermiyor. Yalnızca, söz konusu zaman dilimlerinde gürültü seviyesinin bağlantının "gücüyle" karşılaştırılabilir olduğunu söyleyebiliriz, dolayısıyla para birimleri arasındaki bağlantı sorunu açık kalıyor.

Fraktallar hakkında çok fazla konuşma var. Web'de fraktallara adanmış yüzlerce site var. Ancak bilgilerin çoğu fraktalların güzel olduğu gerçeğine dayanıyor. Fraktalların gizemi kesirli boyutlarıyla açıklanıyor, ancak çok az kişi kesirli boyutun ne olduğunu anlıyor.

1996'da bir yerlerde kesirli boyutun ne olduğu ve anlamının ne olduğuyla ilgilenmeye başladım. Bunun o kadar da karmaşık bir şey olmadığını ve her öğrencinin bunu anlayabileceğini öğrendiğimde ne kadar şaşırdığımı hayal edin.

Burada kesirli boyutun ne olduğunu popüler bir dille ifade etmeye çalışacağım. Bu konuyla ilgili akut bilgi eksikliğini telafi etmek için.

Vücut ölçümü

İlk olarak, cisimlerin ölçümüyle ilgili günlük fikirlerimizi bir düzene sokmak için küçük bir giriş.

Formülasyonların matematiksel doğruluğu için çabalamadan boyut, ölçü ve boyutun ne olduğunu bulalım.

Bir cismin boyutu cetvelle ölçülebilir. Çoğu durumda, boyutun bilgilendirici olmadığı ortaya çıkıyor. Hangi "dağ" daha büyük?

Yükseklikleri karşılaştırırsak, genişlikler yeşilse daha kırmızı olur.

Öğeler birbirine benzerse boyut karşılaştırması bilgilendirici olabilir:

Şimdi, hangi boyutları karşılaştırırsak karşılaştıralım: genişlik, yükseklik, kenar, çevre, yazılı dairenin yarıçapı veya başka herhangi biri, yeşil dağın her zaman daha büyük olduğu ortaya çıkar.

Ölçü aynı zamanda nesnelerin ölçülmesine de yarar, ancak cetvelle ölçülmez. Tam olarak nasıl ölçüldüğünden bahsedeceğiz, ancak şimdilik ana özelliğine dikkat ediyoruz - ölçü katkı maddesidir.

Günlük dilde, iki nesne birleştirildiğinde nesnelerin toplamının ölçüsü, orijinal nesnelerin ölçülerinin toplamına eşittir.

Tek boyutlu nesneler için ölçü, boyutla orantılıdır. 1 cm ve 3 cm uzunluğunda parçalar alırsanız, bunları birbirine "katlarsanız", "toplam" parçanın uzunluğu 4 cm (1 + 3 = 4 cm) olacaktır.

Tek boyutlu olmayan cisimler için ölçü, toplanabilirliği koruyacak şekilde seçilen bazı kurallara göre hesaplanır. Örneğin, kenarları 3 cm ve 4 cm olan kareler alıp bunları "katlarsanız" (birbirine birleştirirseniz), o zaman alanlar (9 + 16 = 25cm²) toplanacaktır, yani sonucun kenarı (boyutu) 5cm olsun.

Hem terimler hem de toplam karelerdir. Birbirlerine benzerler ve boyutlarını karşılaştırabiliriz. Toplamın boyutunun terimlerin boyutlarının toplamına (5≄4+3) eşit olmadığı ortaya çıktı.

Ölçü ve büyüklük arasında nasıl bir ilişki vardır?

Boyut

Sadece boyut ve ölçü ile boyutu birbirine bağlamanıza olanak tanır.

Boyutunu - D, ölçüsünü - M, boyutunu - L olarak gösterelim. O zaman bu üç miktarı birleştiren formül şöyle görünecektir:

Bize tanıdık gelen ölçümler için bu formül tanıdık görünümlere bürünüyor. İki boyutlu cisimler için (D=2) ölçü (M) alan (S), üç boyutlu cisimler için (D=3) - hacimdir (V):

S \u003d L 2, V \u003d L 3

Dikkatli okuyucu şunu soracaktır: Eşit işaretini hangi hakla yazdık? Peki, bir karenin alanı, kenarının karesine eşittir, fakat bir dairenin alanı? Bu formül herhangi bir nesne için işe yarar mı?

Evet ve hayır. Eşitliklerin yerine orantıları koyup katsayıları girebilirsiniz ya da sırf formülün işe yaraması için cisimlerin boyutlarını girdiğimizi varsayabilirsiniz. Örneğin, bir daire için yay uzunluğunun boyutuna "pi" radyanının köküne eşit diyeceğiz. Neden?

Her durumda, katsayıların varlığı veya yokluğu daha ileri akıl yürütmenin özünü değiştirmeyecektir. Basit olması açısından katsayıları tanıtmayacağım; İsterseniz kendiniz ekleyebilir, tüm gerekçeleri tekrarlayabilir ve bunların (muhakemelerin) geçerliliğini kaybetmediğinden emin olabilirsiniz.

Söylenenlerin hepsinden, eğer rakam N kat azaltılırsa (ölçeklendirilirse), o zaman orijinal N D zamanlarına sığacağı sonucunu çıkarmalıyız.

Aslında, eğer (D=1) parçası 5 kat azaltılırsa, orijinal parçaya (5 1 =5) tam olarak beş kat sığacaktır; Üçgen (D = 2) 3 kat azaltılırsa orijinaline 9 kat (3 2 = 9) sığacaktır.

Küp (D = 3) 2 kat azaltılırsa orijinaline 8 kat (2 3 = 8) sığacaktır.

Bunun tersi de doğrudur: Şeklin boyutu N kat azaltıldığında, orijinaline n kat uyduğu ortaya çıkarsa (yani ölçüsü n kat azalmışsa), o zaman boyut hesaplanabilir. formüle göre.

Fraktalların üçüncü özelliği, fraktal nesnelerin Öklid dışında bir boyuta (başka bir deyişle topolojik boyuta) sahip olmasıdır. Fraktal boyut, eğrinin karmaşıklığının bir ölçüsüdür. Farklı fraktal boyutlara sahip bölümlerin değişimini ve sistemin dış ve iç faktörlerden nasıl etkilendiğini analiz ederek sistemin davranışını tahmin etmeyi öğrenebiliriz. Ve en önemlisi kararsız koşulları teşhis etmek ve tahmin etmek.

Modern matematiğin cephaneliğinde Mandelbrot, nesnelerin kusurluluğunun uygun bir niceliksel ölçüsünü buldu - konturun kıvrımlılığı, yüzeyin kırışması, hacmin kırılması ve gözenekliliği. İki matematikçi Felix Hausdorff (1868-1942) ve Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970) tarafından önerildi. Artık yaratıcılarının görkemli isimlerini - Hausdorff-Besikovich boyutunu - hak ettiği şekilde taşıyor. Boyut nedir ve finansal piyasaların analiziyle ilgili olarak buna neden ihtiyacımız var? Bundan önce yalnızca tek bir boyut türünü biliyorduk - topolojik (Şekil 3.11). Boyut kelimesinin kendisi bir nesnenin kaç boyuta sahip olduğunu gösterir. Düz bir çizgi için 1'e eşittir, yani. elimizde tek bir boyut var, o da bir çizginin uzunluğu. Bir düzlem için boyut 2 olacaktır, çünkü iki boyutlu bir boyuta, uzunluğa ve genişliğe sahibiz. Uzay veya katı nesneler için boyut 3'tür: uzunluk, genişlik ve yükseklik.

Bilgisayar oyunları örneğini ele alalım. Oyun 3D grafiklerle yapılmışsa, mekansal ve hacimlidir, 2D grafiklerde grafikler bir düzlemde görüntüleniyorsa (Şekil 3.10).

Hausdorff-Besikovich boyutunun en sıra dışı (daha doğrusu alışılmadık demek) topolojik boyut olarak yalnızca tam sayıları değil, aynı zamanda kesirli değerleri de alabilmesiydi. Düz bir çizgi için (sonsuz, yarı sonsuz veya sonlu bir bölüm için) bire eşit olan Hausdorff-Besicovitch boyutu, kıvrımlılık arttıkça artar, topolojik boyut ise çizgide meydana gelen tüm değişiklikleri inatla göz ardı eder.

Boyut, bir setin (örneğin düz bir çizgi) karmaşıklığını karakterize eder. Topolojik boyutu 1'e (düz çizgi) eşit olan bir eğri ise, o zaman eğri sonsuz sayıda bükülme ve dallanma ile fraktal boyutu ikiye yaklaşacak kadar karmaşık hale getirilebilir; neredeyse tüm düzlemi dolduracaktır (Şekil 3.12).

Değerini artırarak, Hausdorff-Besikovich boyutu, topolojik boyutun "kendi yerine" yapacağı gibi, 1'den hemen 2'ye geçişi aniden değiştirmez. Hausdorff-Besikovich boyutu - ve bu ilk bakışta olağandışı görünebilir ve şaşırtıcıdır, kesirli değerler alır: düz bir çizgi için bire eşit olduğunda, hafif kıvrımlı bir çizgi için 1,15, daha kıvrımlı bir çizgi için 1,2, çok kıvrımlı bir çizgi için 1,5 vb. olur. (şek.3.13).

Hausdorff-Besikovich boyutunun kesirli, tam sayı olmayan değerleri alma yeteneğini vurgulamak için Mandelbrot kendi neolojizmini ortaya çıkardı ve buna fraktal boyut adını verdi. Dolayısıyla, fraktal boyut (yalnızca Hausdorff-Besikovich değil, aynı zamanda diğer herhangi bir boyut) mutlaka tamsayı değil, aynı zamanda kesirli değerleri de alabilen bir boyuttur.

Doğrusal geometrik fraktallar için boyut, onların kendine benzerliğini karakterize eder. Şekil 3.17 (a)'yı düşünün, doğru her biri r=1/3 uzunluğa sahip N=4 parçadan oluşur. Sonuç olarak şu oranı elde ederiz:

D = logN/log(1/r)

Multifraktallardan (doğrusal olmayan nesneler) bahsettiğimizde durum oldukça farklıdır. Burada boyut, bir nesnenin benzerliğinin tanımı olarak anlamını yitirir ve kendine benzer doğrusal fraktalların benzersiz boyutuna göre çok daha az doğal olan çeşitli genellemelerle tanımlanır. Multifraktallarda H değeri bir boyut göstergesi görevi görür, bunu daha detaylı olarak “Döviz piyasasında bir döngünün tanımlanması” bölümünde ele alacağız.

Fraktal boyutun değeri, sistemi etkileyen faktörlerin sayısını belirleyen bir gösterge görevi görebilir. Döviz piyasasında boyutluluk fiyat oynaklığını karakterize edebilir. Her döviz çiftinin kendine has davranışı vardır. GBP/USD paritesi, EUR/USD'ye göre daha dürtüsel bir davranış sergiliyor. En ilginç olanı, bu para birimlerinin fiyat seviyelerine aynı yapıyla hareket etmesi, ancak farklı boyutlara sahip olmaları, bu da gün içi ticareti ve modeldeki deneyimsiz gözün gözünden kaçabilecek değişiklikleri etkileyebiliyor.

Fraktal boyut 1,4'ten küçük olduğunda sistem, sistemi bir yönde hareket ettiren bir veya daha fazla kuvvetten etkilenir. Boyut yaklaşık 1,5 ise, sisteme etki eden kuvvetler çok yönlüdür, ancak birbirini az çok telafi eder. Bu durumda sistemin davranışı stokastiktir ve klasik istatistiksel yöntemlerle iyi bir şekilde tanımlanır. Fraktal boyut 1,6'dan çok daha büyükse sistem kararsız hale gelir ve yeni bir duruma geçmeye hazır hale gelir. Buradan, gözlemlediğimiz yapı ne kadar karmaşıksa, güçlü bir hareket olasılığının da o kadar arttığı sonucunu çıkarabiliriz.

Şekil 3.14, bu terimin anlamını daha derinlemesine anlamanız için boyutu matematiksel modele göre göstermektedir. Her üç şeklin de aynı döngüyü gösterdiğine dikkat edin. Şekil 3.14(a)'da boyut 1,2, Şekil 3.14(b)'de boyut 1,5 ve Şekil 3'tedir. 14(c) 1.9. Boyutun artmasıyla nesnenin algısının daha karmaşık hale geldiği, salınımların genliğinin arttığı görülmektedir.

Finansal piyasalarda boyut sadece fiyat oynaklığı olarak değil aynı zamanda döngülerin (dalgaların) detayı olarak da yansımaktadır. Bu sayede bir dalganın belirli bir zaman ölçeğine ait olup olmadığını ayırt edebileceğiz.

Şekil 3.15, EUR/USD çiftini günlük fiyat ölçeğinde göstermektedir. Dikkat edin, oluşan döngüyü ve yeni, daha büyük bir döngünün başlangıcını açıkça görebilirsiniz. Saatlik ölçeğe geçip döngülerden birini artırarak, daha küçük döngüleri ve D1 ölçeğinde yer alan büyük döngünün bir kısmını fark edebiliriz (Şekil 3.16). Döngü detaylandırması, yani boyutları, başlangıç ​​koşullarından yola çıkarak durumun gelecekte nasıl gelişebileceğini belirlememize olanak tanır. Şunu söyleyebiliriz: Fraktal boyut, söz konusu kümenin ölçek değişmezliği özelliğini yansıtır.

Değişmezlik kavramı, Mandelbrot tarafından "ölçeklenebilir" - ölçeklenebilir, yani kelimesinden tanıtıldı. Bir nesne değişmezlik özelliğine sahip olduğunda, farklı görünüm düzeylerine (ölçeklerine) sahiptir.

Şekilde “A” dairesi mini döngüyü (detaylı dalga) vurguluyor, “B” dairesi ise daha büyük döngünün dalgasını işaret ediyor. Dalgaların boyutundan dolayı döngünün boyutunu her zaman belirleyebiliriz.

Böylece gerçek nesnenin klasik modeller şeklinde temsil edilemediği durumlarda model olarak fraktalların kullanıldığını söyleyebiliriz. Bu da doğrusal olmayan ilişkilerle ve verilerin deterministik olmayan (rastgele) doğasıyla uğraştığımız anlamına geliyor. İdeolojik anlamda doğrusal olmama, gelişim yollarının çeşitliliği, alternatif yollardan seçim yapılabilmesi ve belirli bir evrim hızının yanı sıra, evrimsel süreçlerin geri döndürülemezliği anlamına gelir. Matematiksel anlamda doğrusal olmama, birden büyük güçlerde istenen miktarları veya ortamın özelliklerine bağlı katsayıları içeren belirli bir tür matematiksel denklem (doğrusal olmayan diferansiyel denklemler) anlamına gelir.

Klasik modelleri (örneğin trend, regresyon vb.) uyguladığımızda bir nesnenin geleceğinin benzersiz bir şekilde belirlendiğini söyleriz. tamamen başlangıç ​​koşullarına bağlıdır ve net bir tahmine uygundur. Bu modellerden birini bağımsız olarak Excel'de gerçekleştirebilirsiniz. Klasik bir model örneği, sürekli azalan veya artan bir trend olarak gösterilebilir. Ve nesnenin geçmişini (modelleme için ilk veriler) bilerek davranışını tahmin edebiliriz. Ve fraktallar, nesnenin geliştirme için çeşitli seçeneklere sahip olduğu ve sistemin durumunun şu anda bulunduğu konuma göre belirlendiği durumlarda kullanılır. Yani nesnenin başlangıç ​​koşulları göz önüne alındığında kaotik bir gelişimi simüle etmeye çalışıyoruz. Bu sistem bankalararası döviz piyasasıdır.

Şimdi fraktal dediğimiz şeyin, doğal özellikleriyle birlikte düz bir çizgiden nasıl elde edilebileceğini düşünelim.

Şekil 3.17(a) Koch eğrisini göstermektedir. Bir doğru parçasını alın, uzunluğu = 1, yani. hâlâ topolojik bir boyuttur. Şimdi onu üç parçaya böleceğiz (her biri uzunluğun 1 / 3'ü) ve ortadaki üçte birini çıkaracağız. Ancak ortadaki üçte birlik kısmı, eşkenar üçgenin iki tarafı olarak temsil edilebilecek iki parçayla (her biri uzunluğun 1/3'ü) değiştireceğiz. Tasarımın bu ikinci aşaması (b), Şekil 3.17(a)'da gösterilmektedir. Bu noktada her biri uzunluğun 1/3'ü olan 4 küçük parçamız var, yani tüm uzunluk 4(1/3) = 4/3 olur. Daha sonra bu işlemi hattın 4 küçük lobunun her biri için tekrarlıyoruz. Bu üçüncü aşamadır (c). Bu bize her biri uzunluğun 1/9'u kadar olan 16 daha küçük çizgi parçası verecektir. Yani tüm uzunluk artık 16/9 veya (4/3)2 olur. Sonuç olarak kesirli bir boyut elde ettik. Ancak ortaya çıkan yapıyı düz bir çizgiden ayıran sadece bu değildir. Kendine benzer hale gelmiştir ve herhangi bir noktasına teğet çizmek imkansızdır (Şekil 3.17 (b)).