1. Tuletis ja diferentsiaal. Kompleksmuutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali definitsioonid langevad sõna-sõnalt kokku ühe reaalmuutuja funktsioonide vastavate definitsioonidega.

Laske funktsioonil w = f(z) = ja + iv määratletud mõnes naabruskonnas U punktid zo. Anname sõltumatu muutuja z = x + gu juurdekasv A z= A.g + gau, ei vii ümbruskonnast väljapoole U. Siis funktsioon w = f(z) saavad vastava juurdekasvu Aw = = f(z 0 + Dg) - f(z 0).

Funktsiooni w = f(z) tuletis punktis zq nimetatakse funktsiooni juurdekasvu suhte piiriks Oi! argumendi A juurdekasvuni z püüdes samal ajal Az nullini (suvalisel viisil).

Tuletis on tähistatud f"(z Q), w või y-. Tuletise definitsiooni saab kirjutada kui

(6.1) piirang ei pruugi olla olemas; siis nad ütlevad, et funktsioon w = f(z) ei oma tuletist punktis zq.

Funktsioon w = f(z) helistas diferentseeruv punkti Zq suhtes, kui see on mõnes naabruskonnas määratletud U punktid zq ja selle juurdekasv Oi! saab esitada kujul

kus on kompleksarv L ei sõltu A g-st ja funktsioon a(Ag) on ​​lõpmatult väike at Az-» 0, s.o. Pm a(Ag) = 0.

Nii nagu reaalse muutuja funktsioonide puhul, on tõestatud, et funktsioon f(z) punktis eristatav zq siis ja ainult siis, kui sellel on tuletis zo. ja A = f"(zo). Väljendus f"(zo)Az helistas funktsiooni f(z) diferentsiaal punktis Zqja on määratud dw või df(zo). Sel juhul juurdekasv Az sõltumatust muutujast -r nimetatakse ka muutuja r ja diferentsiaaliks

tähistatud dz. Seega

Diferentsiaal on funktsiooni juurdekasvu põhiline lineaarne osa.

Näide 6.1. Uurige, kas funktsioonil on w= /(r) = R ez tuletis suvalises punktis Zq.

Lahendus. Tingimuse järgi w = Rea = X. Tuletise definitsiooni tõttu ei tohiks piir (C.1) sõltuda sellest, millisest teest

punkt z = Zq + Az lähenemas th aadressil A z-? 0. Võtame esmalt A z - Ah(Joon. 15, a). Sest Ah = Ah. siis = 1. Kui

võta A z = jah(Joonis 15, b), See Oh= 0 ja seega Oi! = 0.

See tähendab, et u = 0. Seega suhe reedetakse millal Az-> 0 mitte A z A z

olemas ja seega ka funktsioon w= Re g = X ei ole üheski punktis tuletist.

Samal ajal funktsioon w = z = X + oi, on ilmselgelt tuletis mis tahes punktis r ja /"(th) = 1. Siit on selge, et diferentseeruva funktsiooni f(r) reaalne ja imaginaarne osa ei saa olla suvaline; neid peavad ühendama mingid lisasuhted. Need seosed tekivad seetõttu, et tuletise /"(0) olemasolu tingimus on oluliselt piiravam kui ühe reaalmuutuja funktsioonide tuletise või mitme reaalmuutuja funktsioonide osatuletise olemasolu tingimus: nõutakse, et piirväärtus punktis (6.1) on olemas ja ei sõltu teest, mille järgi punkt r = r + Ar läheneb r-le kui Ar 0. Nende seoste tuletamiseks tuletage meelde kahe muutuja funktsiooni diferentseeritavuse definitsiooni.

Tõeline funktsioon u = u(x,y) reaalsed muutujad X Ja juures nimetatakse punktis diferentseeruvaks Ro (ho, oh), kui see on määratletud mõnes punkti D> läheduses ja selle kogukasv on A Ja = nende o + Oh, oh+ A y) - ja (ho, Uo) kujul esindatav

Kus IN Ja KOOS- J-st sõltumatud reaalarvud , Jah, A {3 Oh Ja Jah, kipub nulli kell Oh -» 0, Jah-> 0.

Kui funktsioon Ja on punktis Po diferentseeruv, siis on sellel a

G, " di(P 0)^ di(ro) gt ,

ny tuletised Po-s ja IN= ---, C = ---. Kuid (erinev

oh oh

ühe muutuja funktsioonidest) funktsiooni osatuletiste olemasolust u(x,y) selle eristatavust veel ei järgne.

2. Cauchy-Riemanni tingimused.

Teoreem 6.1. Olgu funktsioon w = kompleksmuutuja z f(z).= (f, y) on määratletud punkti zq läheduses= (jo, y o) ja f(z) = u(x,y) +iv(x, y). Selleks, et f(z) oleks punktis Zq diferentseeruv, on vajalik ja piisav, et funktsioonid u(x, y) XI v(x, y) oleksid punktis diferentseeruvad.(jo, oo) ja et praegusel hetkel on tingimused täidetud

Nimetatakse võrrandeid (6.4). Cauchy-Riemanni tingimused .

Tõestus. Vajadus. Laske funktsioonil w = f(z) on diferentseeruv punktis zq, st.

Tähistame f"(zo) = a + ib a(Dg) = fi (Axe, Ау)+ g7(J, Jah); Az = Ah + (Jah, Kus /3 ja 7 - muutujate reaalfunktsioonid Ah, oh, kipub nulli kui J -> 0, Au -> 0. Asendades need võrrandid (6.5) ja eraldades reaal- ja kujuteldavad osad, saame:

Kuna kompleksarvude võrdsus on võrdne nende reaal- ja imaginaarsete osade võrdsusega, siis (6.6) on samaväärne võrduste süsteemiga

Võrdused (6.7) tähendavad, et funktsioonid u(x,y), v(x,y) vastavad tingimusele (6.3) ja on seetõttu diferentseeritavad. Kuna koefitsiendid J ja Jah on võrdsed osatuletistega w ja suhtes juures vastavalt, siis (6.7)-st saame

millest tulenevad tingimused (6.4).

Adekvaatsus. Oletame nüüd, et funktsioonid u(x, y) Ja v(x,y) punktis eristatav (ho.oo) Ja u(x,y) ja tingimused (6.4) on täidetud.

Tähistades a = ^, 6 = -^ ja rakendades (6.4), jõuame võrdustele (6.8). Alates (6.8) ja funktsioonide diferentseeritavuse tingimusest u(x,y), v(x,y) meil on

kus ft, 7i, ft, d-2 - funktsioonid kipuvad nulli Ah -> 0, Au ->-> 0. Siit

An + iAv= (o + ib) (Ah + i.Ay)+ (jalga + ift)Ax + (71 + *72) Jah.(6.9) Defineerime funktsiooni a(Dr) võrrandiga

ja pane A = A 4- ib. Siis (6.9) kirjutatakse ümber võrdsuseks

mis langeb kokku (6.2). Diferentseeritavuse tõestamise päev

funktsioonid f(z) Jääb üle näidata, et lim a(Az) = 0. Võrdusest

järgib seda Oh^ |Dg|, Jah^ |Dg|. Sellepärast

Kui Az-? 0, siis Oh-? 0, Jah-> 0, mis tähendab, et funktsioonid ft, ft, 71, 72 kalduvad nulli. Seetõttu a(Dr) -> 0 at Az-> 0 ja teoreemi 6.1 tõestus on valmis.

Näide 6.2. Uurige, kas funktsioon on w = z 2 diferentseeritav; kui jah, siis mis punktides?

Lahendus, w = u + iv = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2ixy, kus ja = = x 2 - y 2, V = 2xy. Seega

Seega on Cauchy-Riemanni tingimused (6.4) igas punktis täidetud; see tähendab funktsiooni w = g 2 on C-s eristatav.

Näide 6.3. Uurige funktsiooni diferentseeritavust w = - z - x - iy.

Lahendus. w = u + iv = x - iy, kus u = x, v = -y Ja

Seega ei ole Cauchy-Riemanni tingimused üheski punktis täidetud ja seega ka funktsioon w = z ei ole kuskil eristatav.

Funktsiooni diferentseeritavust saab kontrollida ja tuletisi leida otse valemi (6.1) abil.

Näide 6.4. Uurige valemi (6.1) abil funktsiooni diferentseeritavust IV = z 2.

Lahendus. A w- (zq + A z) 2- Zq = 2 zqAz -I- (A z) 2, kus

Seetõttu funktsioon w = zr on diferentseeruv mis tahes punktis 2o ja selle tuletis f"(zo) =2 zo-

Kuna põhiteoreemid piiride kohta on säilinud kompleksmuutuja funktsioonide puhul ja ka kompleksmuutuja funktsiooni tuletise definitsioon ei erine reaalmuutuja funktsioonide vastavast definitsioonist, siis kehtivad üldtuntud reeglid. summa, vahe, korrutis, jagatis ja kompleksfunktsiooni eristamine jääb kehtima kompleksmuutuja funktsioonide puhul. Samamoodi saab ka tõestada, et kui funktsioon f(z) punktis eristatav zo. siis on see selles punktis pidev; vastupidine pole tõsi.

3. Analüütilised funktsioonid. Funktsioon w= /(^erinev ainult punktis endas zq, aga ka mõnes selle punkti naabruses, nimetatakse analüütiline punktis zq. Kui f(z) on analüütiline piirkonna igas punktis D, siis nimetatakse seda analüütiline (tavaline, holomorfne) domeenis D.

Tuletiste omadustest järeldub kohe, et kui f(z) Ja g(z)- analüütilised funktsioonid valdkonnas D, siis funktsioonid f(z) + g(z), f(z) - g(z), f(z) g(z) ka analüütiline valdkonnas D, ja jagatis f(z)/g(z) analüütiline funktsioon piirkonna kõigis punktides D. milles g(z) f 0. Näiteks funktsioon

on analüütiline langenud punktidega C-tasandil z= = 1 ja z - i.

Kompleksfunktsiooni tuletise teoreemist tuleneb järgmine väide: kui funktsioon Ja = u(z) on selles domeenis analüütiline D ja kuvab D piirkonnale D" muutuja ja, ja funktsioon w = f(u) analüütiline D", siis kompleksfunktsioon w = f(u(z)) muutuv z analüütiline sisse D.

Tutvustame funktsiooni mõistet, mis on suletud domeenis analüütiline D. Erinevus siinsest avatud piirkonnast seisneb selles, et lisanduvad piiripunktid, millele naabruskond ei kuulu D; seetõttu ei ole nende punktide tuletis määratletud. Funktsioon f(z) helistas analüütiline (regulaarne, holomorfsed) suletud piirkonnas D, kui seda funktsiooni saab laiendada mõnele laiemale alale D i sisaldav D, analüütiliseks D funktsioonid.

• Tingimusi (6,4) uuriti juba 18. sajandil. d'Alembert ja Euler. Seetõttu nimetatakse neid mõnikord ka d'Alembert-Euleri tingimusteks, mis on ajaloolisest seisukohast õigem.

Kompleksmuutuja funktsiooni mõiste

Esmalt värskendame oma teadmisi ühe muutuja koolifunktsiooni kohta:

Ühe muutuja funktsioon on reegel, mille kohaselt iga sõltumatu muutuja väärtus (definitsioonipiirkonnast) vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele väärtusele. Loomulikult on “x” ja “y” reaalarvud.

Keerulisel juhul määratakse funktsionaalne sõltuvus sarnaselt:

Kompleksmuutuja üheväärtuslik funktsioon on reegel, mille kohaselt iga sõltumatu muutuja kompleksväärtus (definitsioonipiirkonnast) vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele kompleksväärtusele. Teoorias võetakse arvesse ka mitme väärtusega ja mõnda muud tüüpi funktsioone, kuid lihtsuse huvides keskendun ühele definitsioonile.

Mis vahe on keeruka muutujafunktsiooni vahel?

Peamine erinevus: kompleksarvud. Ma ei ironiseeri. Sellised küsimused jätavad inimesed sageli uimaseks; artikli lõpus räägin teile naljaka loo. Õppetunnis Keerulised numbrid mannekeenide jaoks käsitlesime kompleksarvu kujul . Kuna nüüd on täht “z” muutunud muutujaks, tähistame seda järgmiselt: , samas kui “x” ja “y” võivad omandada erinevaid tegelikke väärtusi. Jämedalt öeldes sõltub kompleksmuutuja funktsioon muutujatest ja , mis omandavad “tavalised” väärtused. Sellest faktist tuleneb loogiliselt järgmine punkt:

Kompleksmuutuja funktsiooni reaalne ja imaginaarne osa

Kompleksmuutuja funktsiooni saab kirjutada järgmiselt:
, kus ja on kahe reaalmuutuja kaks funktsiooni.

Funktsiooni nimetatakse funktsiooni reaalosaks.
Funktsiooni nimetatakse funktsiooni imaginaarseks osaks.

See tähendab, et kompleksmuutuja funktsioon sõltub kahest reaalfunktsioonist ja . Et kõike lõpuks selgitada, vaatame praktilisi näiteid:

Lahendus: sõltumatu muutuja “zet”, nagu mäletate, on kirjutatud kujul , seega:

(1) Asendasime .

(2) Esimese liikme puhul kasutati lühendatud korrutamisvalemit. Terminis on sulud avatud.

(3) Hoolikalt ruudukujuline, seda unustamata

(4) Terminite rühmitamine: kõigepealt kirjutame ümber terminid, milles imaginaarset üksust ei ole (esimene rühm), seejärel terminid, kus on (teine ​​rühm). Tuleb märkida, et terminite segamine ei ole vajalik ja selle sammu võib vahele jätta (tegelikult suuliselt).

(5) Teise rühma puhul võtame selle sulgudest välja.

Selle tulemusena selgus, et meie funktsioon on vormis esindatud

Vastus:
– funktsiooni tegelik osa.
– funktsiooni mõtteline osa.

Millisteks funktsioonideks need osutusid? Kahe muutuja kõige tavalisemad funktsioonid, millest leiate nii populaarsed osatuletised. Ilma halastuseta leiame selle. Aga veidi hiljem.

Lühidalt saab lahendatud ülesande algoritmi kirjutada järgmiselt: asendame , algse funktsiooniga, teostame lihtsustusi ja jagame kõik terminid kahte rühma - ilma kujuteldava ühikuta (reaalosa) ja imaginaarse ühikuga (imaginaarne osa) .

Leia funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa

See on näide, mille saate ise lahendada. Enne kui kiirustate oma kabega keerulises lennukis lahingusse, lubage mul anda teile selle teema kohta kõige olulisem nõu:

OLE ETTEVAATLIK! Ettevaatlik tuleb olla muidugi igal pool, aga kompleksarvudes tuleks olla ettevaatlikum kui kunagi varem! Pidage meeles, et avage klambrid ettevaatlikult, ärge kaotage midagi. Minu tähelepanekute järgi on kõige levinum viga märgi kadumine. Ära kiirusta!

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Nüüd kuubik. Kasutades lühendatud korrutamisvalemit, tuletame:
.

Valemeid on praktikas väga mugav kasutada, kuna need kiirendavad oluliselt lahendusprotsessi.

Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine.
Cauchy-Riemanni tingimused

Mul on kaks uudist: hea ja halb. Alustan heast. Kompleksmuutuja funktsiooni puhul kehtivad diferentseerimisreeglid ja elementaarfunktsioonide tuletiste tabel. Seega võetakse tuletis täpselt samamoodi nagu reaalmuutuja funktsiooni puhul.

Halb uudis on see, et paljude keeruka muutuja funktsioonide jaoks pole tuletist üldse ja peate välja selgitama, kas konkreetne funktsioon on diferentseeritav. Ja südame tunnetuse "väljamõtlemine" on seotud täiendavate probleemidega.

Vaatleme kompleksmuutuja funktsiooni. Selle funktsiooni diferentseerimiseks on vajalik ja piisav:

1) Nii et esimest järku osatuletised on olemas. Unustage need tähistused kohe, kuna kompleksmuutuja funktsioonide teoorias kasutatakse traditsiooniliselt teistsugust tähistust: .

2) Et nn Cauchy-Riemanni tingimused oleksid täidetud:

Ainult sel juhul on tuletis olemas!

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Kui Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, leidke funktsiooni tuletis.

Lahendus on jagatud kolmeks järjestikuseks etapiks:

1) Leiame funktsiooni tegelikud ja imaginaarsed osad. Seda ülesannet käsitleti eelmistes näidetes, seega kirjutan selle ilma kommentaarideta kirja:

Sellest ajast:

Seega:
– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Lubage mul peatuda veel ühel tehnilisel punktil: millises järjekorras peaksime kirjutama terminid reaalsesse ja mõttelisse ossa? Jah, põhimõtteliselt pole see oluline. Näiteks võib reaalosa kirjutada järgmiselt: , ja imaginaarse osa järgmiselt: .

3) Kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Neid on kaks.

Alustame seisukorra kontrollimisega. Leiame osatuletised:

Seega on tingimus täidetud.

Hea uudis on muidugi see, et osatuletised on peaaegu alati väga lihtsad.

Kontrollime teise tingimuse täitmist:

Tulemus on sama, kuid vastupidiste märkidega ehk tingimus on ka täidetud.

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, seega on funktsioon diferentseeritav.

3) Leiame funktsiooni tuletise. Tuletis on samuti väga lihtne ja leitakse tavapäraste reeglite järgi:

Imaginaarset ühikut peetakse diferentseerimisel konstandiks.

Vastus: - pärisosa, – mõtteline osa.
Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

FKP integraal. Cauchy teoreem.

valem ( 52 ) nimetatakse Cauchy integraali valemiks või Cauchy integraaliks. Kui kontuurina ( 52 ) vali ring , siis asendades ja võttes arvesse, et see on kaare pikkuse diferentsiaal , saab Cauchy integraali esitada keskmise väärtuse valemina:

Lisaks Cauchy integraali valemi iseseisvale tähendusele, ( 52 ), (54 ) pakuvad tegelikult väga mugavat viisi kontuuriintegraalide arvutamiseks, mida, nagu näha, väljendatakse integrandi "jäägi" väärtuse kaudu kohas, kus sellel funktsioonil on singulaarsus.

Näide 3-9. Arvutage funktsiooni integraal mööda kontuuri (Joonis 20).

Lahendus. Punkt, kus funktsioonil on singulaarsus, erinevalt näitest 4-1, asub ringi sees. Esitame integraali kujul ( 52 ):

Cauchy valem.

Olgu komplekstasandil tükkhaaval sileda piiriga piirkond, funktsioon on holomorfne ja punkt piirkonna sees. Siis kehtib järgmine Cauchy valem:

Valem kehtib ka siis, kui eeldame, et see on seest holomorfne ja sulguril pidev, ja ka siis, kui piir ei ole tükkide kaupa sile, vaid ainult alaldatav. (Holomorfne funktsioon on kompleksarvu funktsioon, tükkhaaval sile on funktsioon reaalne arv)

Elementaarne FKP: Taylori funktsioon, trigonomeetrilised funktsioonid, hüperboolsed funktsioonid, pöördtrigonomeetrilised funktsioonid, logaritmfunktsioonid, Cauchy valem.

Ärakiri

1 Cauchy-Riemanni tingimused.) Kontrollige funktsiooni w zi e Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Funktsiooni, millel on tuletis punktis z, nimetatakse selles punktis diferentseeruvaks. Cauchy - Riemanni tingimused (D'Alembert - Euler, Euler - D'Alembert): w f z u, iv, siis igas funktsiooni f z diferentseeritavuse punktis Kui z i on võrdsused täidetud, u v u v Kirjutage see funktsioon algebralisel kujul, seades z i: zi ii i i me e e e e e cos isin e cos isin e cos ie sin Valime funktsiooni w tegelikud u ja imaginaarsed v osad: u, e cos v, e sin Arvutame osatuletised: u cos e e cos v e sin e cos u e cos e sin v e sin e sin - Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud. Kirjandus:) Gusak A.A. "Keerulise muutuja funktsioonide teooria ja operatiivarvutus", 00, lk 59 (näide 9), lk 0 (näide);) Kirjutas D.T. "Loengukonspektid kõrgemas matemaatikas", 006, lk 530, lk (Euler-D'Alembert'i tingimused, funktsiooni analüütilisus).) Kontrollige funktsiooni w z 4iz Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Kirjutame selle funktsiooni algebralisel kujul, seades z i: w i 4i i i 4 i i

2 Valime funktsiooni w reaalsed u ja imaginaarsed v osad: u, 4 v, 4 Arvutame osatuletised: u 4 v 4 u 4 4 v Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud. 3) Kontrollige funktsiooni sin iz Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Avaldame trigonomeetrilist funktsiooni sin z eksponentsiaali kaudu: iz iz e e sin z i ja arvestame, et z i: ii ii ii ii i i e e e e e e e e sin iz i i e e i i e e e e e e e sin iz i i e e i i e e e e sinicose isinose isinose co icos e sin ie cose sin ie cos sin cos e e i e e arvu u iv tegelikud ja mõttelised osad: u, sin e e, cos v e e

3 Arvutame osatuletised: u sin sin e e e v cos e e sin e e sin e e ja u sin cos e e e e cos cos e e e v Nagu näeme, on Cauchy-Riemanni tingimused u v u v sin iz täidetud. funktsiooni 4 jaoks) Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimusi kasutades, kas funktsioon w f z on analüütiline: Funktsioon wsin z3 z. w f z nimetatakse analüütiliseks punktis z, kui see on diferentseeruv nii punktis z endas kui ka mõnes selle naabruses. Funktsiooni w f z, mis on diferentseeruv mõne domeeni D igas punktis, nimetatakse selles valdkonnas analüütiliseks funktsiooniks. Cauchy - Riemanni tingimused (D'Alembert - Euler, Euler - D'Alembert): Kui z i w f z u, iv, siis on funktsiooni f z igas diferentseeritavuse punktis täidetud võrdsused u v u v,. Kirjutame selle funktsiooni algebralisel kujul, seades z i: i 3 i w sin ii ii e e 3i3 i i i e 3i3 i i i e e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos3i sineii cos3i sineii cos3i

4 cos e e e e sin 3i3 i cos i e e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Teisendustes kasutatavad valemid: izzcée, Select tegelikud ja kujuteldavad osad w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Arvutage osatuletised: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin Niisiis, Cauchy-Riemanni tingimused u v u v, täidetud; seetõttu on funktsioon sin w f z z3 z analüütiline. 4

5 5) Tõesta funktsiooni analüütilisus ja leia tuletis: z z e w e Kirjuta see funktsioon algebralises vormis, seades z i: i e e w e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos ie sin e cos ie sin cosieee sineeeee sin ch cos ish sin Valime tegelikud ja imaginaarsed osad w z u, i v, u, chcos v, shsin Arvutame osatuletised: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Cauchy-Riemanni tingimused u v u v, täidetud; seetõttu on funktsioon w f z e z e z analüütiline. Mis tahes analüütilise funktsiooni f z u, i v korral funktsioonide u u ja v v osatuletised, : tuletis f u v v u u u v v f z i i i i Arvutame funktsioonide u ja v funktsiooni tuletistest tuletise, : z väljendatakse tuletise avaldisega f z, funktsiooni w z z z e e u v w z i sh cos ich sin z osalise 5 järgi

6 või otse: z z e e z z z z w e e z e e z i i i e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos sin e e i e e cossin e e i e e cosissie z i e, kujul w u, i v,. Kontrollige, kas see on analüütiline, kui jah, siis leidke tuletis punktist z0 6. Nimetagem selles arvus selgelt tegelik u ja imaginaarsed osad, ep ep ep ep e cos i sin e cos i e sin v: i w iz i i i i e e - kompleksarv saadakse algebralises tähistuses. Re w u, e cos Im w v, e sin Mis tahes analüütilise funktsiooni f z u, i v korral on funktsioonide u u ja v v osatuletised: tuletis f u v v u u u v v f z i i i i z on väljendatud järgmiselt Arvutame osatuletised siinu, sinu sin e u cos e cos e v e sin sin e v sin e cos e Kuna Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud (u v, u v) tasandi O kõikide punktide puhul, on uuritav funktsioon analüütiline kogu tasapinnal ja selle tuletis 6

7 u v w z i e i e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 Punktis z0 i0: Kirjandus:) Gusak A.A. "Keerulise muutuja funktsioonide teooria ja operatiivarvutus", 00, lk 59 (näide 9), lk 0 (näide). Arvutage funktsiooni väärtus. 7) Arvutage kompleksmuutuja w cos z funktsiooni väärtus punktis z0 i. e Mis tahes z C jaoks: cos z iz e iz Siis ii ii i i i i e e e e e e e e e e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e cos i sin ch cos z iz e iz . "Keerulise muutuja funktsioonide teooria", 009, köide 0, toim. MSTU, lk 06;) Lunts G.L., Elsgolts L.E. "Keerulise muutuja funktsioonid", 00, lk) Arvutage kompleksmuutuja w th z funktsiooni väärtus punktis z 0 ln 3 algebralisel kujul. z z e e Iga z C jaoks: th z z z e e Nii i i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e e th ln 3 i ln 3 i i i e 4 e 3 i e 4 kirjutage üles 7 vastus 7

8 i i 9cos isin cos isin 9e 4 e i i 9e 4 e 4 9cos isin cos isin i i 9 i i 9 i i 9 i i 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i0 45i 9 i9 i 0 i i 9 i 9 i 0 i 50 40 i 8 i 40 9 i 54i54i tulemus arvutused algebralises vormis. 9) Arvutage kompleksmuutuja Ln z funktsiooni väärtus punktis z 0. Märkige funktsiooni põhiväärtus. Logaritmiline funktsioon Ln ln arg z z i z k kz Arvu z logaritmi põhiväärtus on arvu z argumendi põhiväärtusele vastav väärtus; need. saame logaritmi põhiväärtuse k 0 juures: ln z ln z i arg z Arvu z0 0 i moodul ja argument: z 0 arg z 0 Seetõttu on Ln ln i k 0k i kz funktsiooni a funktsiooni väärtused kompleksmuutuja punktis z 0, kirjutatud algebralisel kujul. (logaritmiline funktsioon Ln z on mitme väärtusega) Arvu z logaritmi põhiväärtus ln 0 i 8

9 0) Arvutage kompleksmuutuja i z funktsiooni väärtus punktis z i 0. Iga w z C korral: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Arvu w i moodul ja argument: i arg iarctg 4 ln i ln i ki i k i k i i ln i iarg i ki ln i i e e 4 k ln i e e 4 k ln i 4 sest isin, kz - kompleksmuutuja z funktsiooni väärtused punktis z0 i, kirjutatud trigonomeetrilisel kujul (mitmeväärtuslik funktsioon).) Arvutage kompleksmuutuja arcctg z funktsiooni väärtus punktis z0 i, kirjutage vastus sisse algebraline vorm. i z i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (kohal k 0 saame logaritmi põhiväärtuse ln z ln z i arg z) z0 i ii i i3i i3i3 4i iii 3ii0 rcni0 i3i3 i i i 3 tg k z i ln iarctg k ln 5iarctg k, kz 5 ja z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0,3 i 0,40 4 (cc9tsipal value)

10) Arvutage kompleksmuutuja arccos z funktsiooni väärtus punktis z0 i, kirjutage vastus algebralises vormis. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz Kui k 0 saame logaritmi ln z ln z i arg z põhiväärtuse ja arkosiini arccos z arg z z iln z z põhiväärtuse annab kompleksarvu ruutjuur kaks väärtust; Funktsiooni põhiväärtuseks valime selle, mille argument jääb vahemikku 0 ;. Sel juhul: arccos ln ln iln i i Arvu i i i i i i i i juur võtab kaks väärtust. Leiame need: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Kasutades valemeid cos cosarctg 5, saame: cos ja sin, ja võttes arvesse, et arctg 5 5 cos 0 arctg 5 5 sin 0 ja siis i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 ja 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k Kahest väärtusest valime teise, sest selle argument jääb vahemikku 0 ;. Niisiis, i i 5 i arccos z arg z z iln z z arctg 5 5 iln i 5 5 arctg 5 i ln 5 arctg 5 i ln 5 5 5 i l n 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (peamine väärtus Liovaterature:D.)i) Arccos.Di) . "Keerulise muutuja funktsioonide teooria", 009, köide 0, toim. MSTU, lk 06;) Lunts G.L., Elsgolts L.E. "Keerulise muutuja funktsioonid", 00, lk 40.

Kompleksarv on avaldis kujul x y (kompleksarvu algebraline vorm), kus x, y R; x Re - kompleksarvu reaalosa; y Im on kompleksarvu imaginaarne osa; - kujuteldav

11. teema Põhiteave kompleksarvude teooriast. Kompleksarv on reaalarvude järjestatud paar, mis on kirjutatud kujul, kus i on "imaginaarühik", mille puhul i = -1; - pärisosa

Keerulised numbrid. Polünoomid. Keerulised numbrid. 1. Põhimõisted ja valemid ülesannete lahendamiseks Algebralisel kujul olev kompleksarv on avaldis kujul = x + y, kus x ja y on reaalsed

1 Kompleksmuutuja funktsioonide põhimõisted Kompleksmuutuja funktsiooniga seotud põhimõisted leitakse samamoodi nagu reaalvaldkonnas. Olgu kaks kompleksi komplekti

Peterburi Riikliku Ülikooli matemaatilise analüüsi osakond METOODILISED JUHISED keeruka muutuja funktsioonide teooria praktiliste tundide läbiviimiseks 1 Algpeatükid

Juhised matemaatika testi läbiviimiseks Teema 1. Kompleksmuutuja funktsioonid Defineerime kompleksmuutuja funktsiooni. Definitsioon. Nad ütlevad, et komplekspunktide hulgal D

Valik Ülesanne Arvuta funktsiooni väärtus, anna vastus algebralisel kujul: a sh ; b l Lahendus a Kasutame trigonomeetrilise siinuse ja hüperboolse siinuse seose valemit: ; sh -s Hangi

Valik Ülesanne Arvuta funktsiooni väärtus (anna vastus algebralisel kujul: a th(; b L(sh(/ Lahendus a) Avaldame puutujat siinuse ja koosinuse kaudu: th(Rakenda siinuse erinevuse ja koosinuse jaoks valemid ch(/

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium VENEMAA RIIKLIK OLI- JA GAASIÜLIKOOL IM GUBKINI JÄRGI Melnikovis, NO.

Teema: Kompleksarvud ja funktsioonid. Kompleksarvu definitsioon, kompleksarvu algebraline vorm. Kompleksarvu tegelikud ja mõttelised osad. Kompleksarvude liitmise ja korrutamise tehted.

Kompleksanalüüs Keerulise muutuja funktsioonid Nikita Aleksandrovitš Evseev Füüsikateaduskond, Novosibirski Riiklik Ülikool, Hiina-Vene instituut, Heilongjiangi Ülikool

Teemad: Sektsiooni nimetus, teemad Tunde kokku Loengud, tunnid Praktilised tunnid, tunnid 1 2 3 4 Teema 1. Analüütiline geomeetria ja lineaaralgebra 68 34 34 Teema 2. Sissejuhatus matemaatilisesse analüüsi

V. D. Mihhailov Kompleksmuutuja funktsioonid näidetes ja ülesannetes 04 UDK 57.5 BBK.6 M69 Mihhailov V. D. Kompleksmuutuja funktsioonid näidetes ja ülesannetes: Õpik. Peterburi, 04.30 lk. Õpetus

Lehekülg 1/14 2. õppetund. Kompleksarvu eksponentsiaalne kuju Matemaatika. analüüs, rakendus. matemaatika, 4. semester A1 Leidke järgmiste kompleksarvude moodulid ja argumendid ning kirjutage need arvud kujul z = ρe iϕ,

VENEMAA HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Tula osariigi ülikooli kõrgtäppissüsteemide instituut, mille nimi on V.P.

RF ANGARA RIIKLIK TEHNILINE AKADEEMIA HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Museva TN Sverdlova OL Turkina NM KOMPLEKSMUUTUVA FUNKTSIOONITEORIA ELEMENTID Õpik Angarsk SISU

KOMPLEKSMUUTUVA TEHTEARVUTUSE FUNKTSIOONIDE TEOORIA ELEMENTID Selle teema õppimise tulemusena peab õpilane õppima: leidma kompleksarvu trigonomeetrilised ja eksponentsiaalsed vormid vastavalt

ISEVALMISTAMISE ÜLESANDED Kompleksarvud ja tehted nendega Kompleksarvud on antud ja Leia:)))) 5): a) b) Kirjuta see kompleksarv:) trigonomeetrilisel kujul) eksponentsiaalsel kujul

VARIANT PROBLEEMI ON ARVUTADA FUNKTSIOONI VÄÄRTUS (VASTUS ANNAKSE ALGEBRAALLISEL KUJUL: a Arch; b LAHENDUS A ARVUTAME ARH-I VALEMI KASUTAMISEGA Arch(L(SELLES NÄITES ZI, SEEGA L(, Arch L() ± EDASINE KASUTAMINE

Variant 9 Ülesanne Arvuta funktsiooni väärtus (anna vastus algebralisel kujul: a cos(; b l(Lahendus a Kasutades trigonomeetria valemit cos(-cos cos(s s)Kasutame seose valemeid trigonomeetriliste vahel

FÖDERAALNE HARIDUSAMET RIIK KUTSEKÕRGHARIDUSASUTUS “SAMARA RIIGIKLI TEHNILINE ÜLIKOOL” Rakendusmatemaatika osakond

Loeng.7. Arvu mõiste laiendamine. Kompleksarvud, tehted nendega Kokkuvõte: Loeng toob välja vajaduse üldistada arvu mõiste loomulikust kompleksseks. algebraline,

VÕIMALIK ÜLESANNE ARVUTAGE FUNKTSIOONI VÄÄRTUS ANDKE VASTUS ALGEBRAALISEL KUJUL: a Kaar b LAHENDUS A ARVUTAME ARH SELLES NÄITES ZI VALEMIT Arch L, SEEGA Arch L± L± KASUTADA EDASI

Loeng..3. Määratlemata integraal Abstraktne: määramatu integraal on defineeritud kui integrandi tuletisvastaste funktsioonide kogum. Arvestatakse määramata integraali omadusi ja

“tegevusmärk” a+(-b)=a-b 1) Miks võetakse kasutusele negatiivsed arvud? “koguse märk”) Miks tehakse nendega toiminguid selliste ja selliste reeglite järgi, mitte aga teiste järgi? Miks on see korrutamisel ja jagamisel negatiivne?

Praktiline tund Analüütilised funktsioonid Cauchy-Riemanni tingimused Kompleksmuutuja funktsiooni tuletis ja diferentsiaal Cauchy-Riemanni tingimused 3 Mooduli geomeetriline tähendus ja tuletise argument 4 Konformaalne

2. loeng 2.1 Kompleksarvude jadad Kompleksarvu a nimetatakse kompleksarvude jada piiriks (z n ), kui mis tahes arvu ε > 0 korral on arv n 0 n 0 (ε)

Valik Ülesanne Arvuta funktsiooni väärtus (anna vastus algebralisel kujul: a cos(; b l(Lahendus a Kasutades trigonomeetria valemit cos(cos cos(-s s)Kasutame seose valemeid trigonomeetriliste vahel

Föderaalne Haridusagentuur Riiklik erialane kõrgharidusasutus "Uurali Riiklik Pedagoogikaülikool" Matemaatikateaduskonna osakond

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline erialane kõrgharidusasutus "Komsomolsk-Amuuri Riiklik Tehniline

MOSKVA RIIK TEHNILINE ÜLIKOOL TSIVIILLENNUD O.G. Illarionova, I.V. Platonova KÕRGMATEMAATIKA Õppe- ja metoodiline juhend praktiliste ülesannete täitmiseks õpilastele II

Kompleksmuutuja mõiste Kompleksmuutuja piir ja pidevus Olgu antud kaks kompleksarvude komplekti D ja Δ ning iga arv z D on seotud arvuga ω Δ, mida tähistatakse

Kompleksanalüüs Näited kompleksmuutuja funktsioonidest Nikita Aleksandrovich Evseev Füüsikateaduskond, Novosibirski Riiklik Ülikool, Hiina-Vene instituut, Heilongjiangi Ülikool

LOENG N34. Keeruliste terminitega numbriseeriad. Võimseeriad kompleksvaldkonnas. Analüütilised funktsioonid. Pöördfunktsioonid..keeruliste terminitega arvjada.....astmerida kompleksvaldkonnas....

RF FöderaalRIIGI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM EELARVELINE KÕRGHARIDUSASUTUS “SAMARA RIIGI TEHNIKAÜLIKOOL” osakond

Sissejuhatus 1 Kirjutage arv algebralisel kujul Leia, Re, Im, arg, Arg = 5 + i 3 + i Lahendus Korrutage ja jagage arv nimetajaga konjugeeritud arvuga: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 i) 3 + i) 3 i) = 15

1 Kompleksfunktsioonid 1.1 Kompleksarvud Tuletage meelde, et kompleksarve saab defineerida reaalarvude järjestatud paaride komplektina C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy, kus i on imaginaarühik ( i

Põhimõisted 1 KOMPLEKSARVUD Kompleksarv on avaldis kujul i, kus ja on reaalarvud, i on kujuteldav ühik, mis vastab tingimusele i 1 Arvu nimetatakse kompleksi reaalosaks.

Loeng 3. Määramatu integraal. Antiderivaat ja määramatu integraal Diferentsiaalarvutuses on ülesanne lahendatud: antud funktsioon f(), leida selle tuletis (või diferentsiaal). Integraalarvutus

PEATÜKK KOMPLEKSMUUTUJA FUNKTSIOONIDE TEOORIA Kompleksmuutuja funktsiooni mõiste fcp pidevus Fcp definitsioon on paljuski sarnane fcp definitsiooniga Öeldakse, et kompleksi teatud hulgal

Funktsioonid Funktsioonide eristamine 1 Diferentseerimise reeglid Kuna funktsiooni tuletis määratakse nii nagu reaalpiirkonnas, s.t. piirangu kujul, siis, kasutades seda määratlust ja piiride omadusi,

Valik Ülesanne Arvutage funktsiooni väärtus (anna vastus algebralisel kujul: a Arctg; b (Lahendus a Üldiselt Arctg arctg + kπ Leiame kompleksist + tasapinnast teised väärtused Arvutame Arctg valemi abil

Mitme muutuja funktsioonid Mitme muutuja funktsioonid Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum. Funktsiooni maksimaalse ja minimaalse väärtuse leidmine suletud piirkonnas Tingimusliku ekstreemumi kompleks

PROBLEEMIPANK magistriõppesse sisseastumiskatseteks (põhiosa) Piletiülesanded, 4 5 Sektsioonid, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 4, 5, 9 Punktide arv 5 b b 5 b Sisu Jaotis Tuletis, jagatis

5. loeng Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised Kokkuvõte: Antakse ühe muutuja funktsiooni tuletise füüsikalised ja geomeetrilised tõlgendused Vaadeldakse näiteid funktsioonide diferentseerimisest ja reeglitest.

Iseseisev töö Ülesanne Määrata kõvera tüüp, antud parameetriliselt ja kujutada kõverat t t t t 5 7 t t b) e e, 0 t π c) t t t 5 Vastused suletud kiir y, 0, y, läbitud kaks korda, kiir on kujutatud

SA Zotova, VB Svetlitšnaja KOMPLEKSMUUUTUJATE FUNKTSIOONIDE TEOORIA PRAKTILINE JUHEND MATEMAATIKA UDC 5 Arvustajad - df-mn, prof Gorjainov VV kuni f-mn, dotsent Kulkov VG Zotova SA, Svetlitšnaja VB Practicalnaya VB

7 EKSPONENTAARSED JA LOGARITMILISED VÕRDED NING VÕRRADUSED 7. PÕHIMÕISTED JA VALEMID. Võrdused log a b ja a b on ekvivalentsed a > 0, a, b > 0 korral. log. Põhilogaritmiline identiteet: a a b b, a > 0,

Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised Funktsiooni tuletise saab leida järgmise skeemi järgi: anname argumendile x juurdekasvu funktsioonile y leiame vastava juurdekasvu y y teeme seose leiame

KEERULISE MUUTUVÕIME KIRJAstuse TSTU FUNKTSIOONID Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Riiklik Kutsekõrgkool "Tambovi Riiklik Tehnikaülikool" KOMPLEKSMUUTUVA FUNKTSIOONID Metoodiline

Küsimused eksamile Õppetaseme kontrollimise küsimused “TEA” Redade teooria põhimõisted Cauchy kriteerium arvujada koondumiseks Arvridade koondumise vajalik märk Piisavad märgid

Föderaalne Haridusagentuur Riiklik erialane kõrgharidusasutus Ukhta Riiklik Tehnikaülikool KEERULISED NUMBRID Juhised

Kompleksanalüüs Kompleksarvude geomeetria Nikita Aleksandrovitš Evseev Novosibirski Riikliku Ülikooli füüsikateaduskond 2015 Kompleksanalüüs 1 / 31 Arvurida R Kompleks

VÕIMALUSÜLESANNE FUNKTSIOONI VÄÄRTUSE ARVUTAMISEKS (VASTUS ANNAKSE ALGEBRAALISEL KUJUL: s(; b a LAHENDUS A TRIGONOMEETRIAVALEMI SIN(ISIN OSIOS SINI) KASUTAMINE HÜHENDUSVALEMEID TRIGONOMEETRIAVALEMI VAHEL

Svetlitšnaja V. B., Agiševa D. K., Matvejeva T. A., Zotova S. A. Matemaatika eripeatükid. Keerulise muutuja funktsioonide teooria Volgograd 0 Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Volžski Polütehnikum

TÜÜPILINE ARVUTUS “Keerulise muutuja funktsioonide teooria” Praktilised ülesanded Ülesanne. Arv s on antud. Leidke c arg c ja kirjutage arv c trigonomeetrilises ja eksponentsiaalses vormis:))))) 8 6) 7) 8) 9)

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUSMINISTEERIUM KOMPLEKSMUUTUVA FUNKTSIOONIDE TEOORIA Metoodiline käsiraamat Koostanud: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova Ülevaade funktsioonide teooria metoodikast

Kompleksarvud, funktsioonid ja tehted nendega y moodul R reaalosa reaalarv, yim imaginaarosa reaalarv iy kompleksarvude kirjutamise algebraline vorm Argumendi põhiväärtus

Teema: Tuletis. Lühike teoreetiline teave. Tuletisinstrumentide tabel. (c) 0 (arcsin) () (arccos) (sin) cos (cos) sin (arctg) (tg) cos (arcctg) (ctg) sin v vln u vln u v v (u) (e) e (

Matemaatiline analüüs Sektsioon: Kompleksmuutuja funktsioonide teooria Teema: Mittealgebralised tehted C-s. Põhilised elementaarfunktsioonid C. B.b. kompleksarvude jadad Lektor O.V.Januszczyk

Teema. Funktsioon. Ülesandmise meetodid. Kaudne funktsioon. Pöördfunktsioon. Funktsioonide klassifikatsioon Hulgateooria elemendid. Põhimõisted Kaasaegse matemaatika üks põhimõisteid on hulga mõiste.

Kontrolltöö Sessioonidevahelisel intervallil peavad üliõpilased läbi viima iseseisva ettevalmistuse Töö läbi loengute teoreetilise materjali teemal “Mitme muutuja funktsioonid” (Esitatav materjal

MIREA. Tüüpiline arvutus matemaatiliseks analüüsiks Testiülesanded teemal Kompleksarvud, TFKP. Ülesanne 1. Lahendage võrrandid, kujutage lahendushulka komplekstasandil A) 4 i + 81i 0 B)

OPERATSIOONI ARVUTUS Laplace'i teisenduse ja inversiooni valem Sisestage Dirichlet' intervall, nimelt: Fourier' integraal (l l) a) on selle intervalliga piiratud; funktsioon vastab tingimustele b) tükiliselt pidev

Kompleksmuutuja funktsioonid Analüütilised funktsioonid Nagu varem, kui pole teisiti öeldud, on meil tegemist üheväärtusliku funktsiooniga w = f(z). Definitsioon 1. Funktsiooni f(z) nimetatakse analüütiliseks

RF ANGARA RIIKLIKU TEHNIKAAKADEEMIA HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Ivanova SV, Evsevleeva LG, Bykova LM, Dobrynina NN KOMPLEKSI MUUTUJA- JA OPERATIONAL CLCULUSI FUNKTSIOONID Õpik

Kompleksmuutuja funktsioonid.
Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine.

See artikkel avab õppetundide seeria, milles käsitlen tüüpilisi probleeme, mis on seotud keeruka muutuja funktsioonide teooriaga. Näidete edukaks valdamiseks peavad teil olema põhiteadmised kompleksarvude kohta. Materjali koondamiseks ja kordamiseks külastage lihtsalt lehte. Leidmiseks on vaja ka oskusi teist järku osatuletised. Siin nad on, need osatuletised... isegi nüüd olin veidi üllatunud, kui sageli neid esineb...

Teema, mida hakkame uurima, ei tekita erilisi raskusi ja keerulise muutuja funktsioonides on põhimõtteliselt kõik selge ja juurdepääsetav. Peaasi on kinni pidada põhireeglist, mille tuletasin eksperimentaalselt. Loe edasi!

Kompleksmuutuja funktsiooni mõiste

Esmalt värskendame oma teadmisi ühe muutuja koolifunktsiooni kohta:

Ühe muutujaga funktsioon on reegel, mille kohaselt iga sõltumatu muutuja väärtus (definitsioonipiirkonnast) vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele väärtusele. Loomulikult on “x” ja “y” reaalarvud.

Keerulisel juhul määratakse funktsionaalne sõltuvus sarnaselt:

Kompleksmuutuja üheväärtuslik funktsioon- see on reegel, mille järgi kõik kõikehõlmav sõltumatu muutuja väärtus (definitsioonipiirkonnast) vastab ühele ja ainult ühele kõikehõlmav funktsiooni väärtus. Teoorias võetakse arvesse ka mitme väärtusega ja mõnda muud tüüpi funktsioone, kuid lihtsuse huvides keskendun ühele definitsioonile.

Mis vahe on keeruka muutujafunktsiooni vahel?

Peamine erinevus: kompleksarvud. Ma ei ironiseeri. Sellised küsimused jätavad inimesed sageli uimaseks; artikli lõpus räägin teile naljaka loo. Õppetunnis Keerulised numbrid mannekeenide jaoks käsitlesime kompleksarvu kujul . Nüüdsest on täht "z" muutunud muutuv, siis tähistame seda järgmiselt: , samas kui “x” ja “y” võivad olla erinevad kehtiv tähendusi. Jämedalt öeldes sõltub kompleksmuutuja funktsioon muutujatest ja , mis omandavad “tavalised” väärtused. Sellest faktist tuleneb loogiliselt järgmine punkt:

Kompleksmuutuja funktsiooni saab kirjutada järgmiselt:
, kus ja on kahe kaks funktsiooni kehtiv muutujad.

Funktsiooni kutsutakse pärisosa funktsioonid
Funktsiooni kutsutakse kujuteldav osa funktsioonid

See tähendab, et kompleksmuutuja funktsioon sõltub kahest reaalfunktsioonist ja . Et kõike lõpuks selgitada, vaatame praktilisi näiteid:

Näide 1

Lahendus: Sõltumatu muutuja “zet”, nagu mäletate, on kirjutatud kujul , seega:

(1) Asendasime .

(2) Esimese liikme puhul kasutati lühendatud korrutamisvalemit. Terminis on sulud avatud.

(3) Hoolikalt ruudukujuline, seda unustamata

(4) Tingimuste ümberpaigutamine: kõigepealt kirjutame terminid ümber , milles pole kujuteldavat ühikut(esimene rühm), seejärel terminid, kus need on (teine ​​rühm). Tuleb märkida, et terminite segamine ei ole vajalik ja selle sammu võib vahele jätta (tegelikult suuliselt).

(5) Teise rühma puhul võtame selle sulgudest välja.

Selle tulemusena selgus, et meie funktsioon on vormis esindatud

Vastus:
– funktsiooni tegelik osa.
– funktsiooni mõtteline osa.

Millisteks funktsioonideks need osutusid? Kahe muutuja kõige tavalisemad funktsioonid, millest leiate nii populaarsed osatuletised. Ilma halastuseta leiame selle. Aga veidi hiljem.

Lühidalt saab lahendatud ülesande algoritmi kirjutada järgmiselt: asendame , algse funktsiooniga, teostame lihtsustusi ja jagame kõik terminid kahte rühma - ilma kujuteldava ühikuta (reaalosa) ja imaginaarse ühikuga (imaginaarne osa) .

Näide 2

Leia funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa

See on näide, mille saate ise lahendada. Enne kui kiirustate oma kabega keerulises lennukis lahingusse, lubage mul anda teile selle teema kohta kõige olulisem nõu:

OLE ETTEVAATLIK! Ettevaatlik tuleb olla muidugi igal pool, aga kompleksarvudes tuleks olla ettevaatlikum kui kunagi varem! Pidage meeles, et avage klambrid ettevaatlikult, ärge kaotage midagi. Minu tähelepanekute järgi on kõige levinum viga märgi kadumine. Ära kiirusta!

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Nüüd kuubik. Kasutades lühendatud korrutamisvalemit, tuletame:
.

Valemeid on praktikas väga mugav kasutada, kuna need kiirendavad oluliselt lahendusprotsessi.

Kompleksmuutuja funktsioonide eristamine.

Mul on kaks uudist: hea ja halb. Alustan heast. Kompleksmuutuja funktsiooni puhul kehtivad diferentseerimisreeglid ja elementaarfunktsioonide tuletiste tabel. Seega võetakse tuletis täpselt samamoodi nagu reaalmuutuja funktsiooni puhul.

Halb uudis on see, et paljude keeruliste muutujafunktsioonide jaoks pole tuletist üldse ja peate selle välja mõtlema kas see on eristatavüks või teine ​​funktsioon. Ja südame tunnetuse "väljamõtlemine" on seotud täiendavate probleemidega.

Vaatleme kompleksmuutuja funktsiooni. Selle funktsiooni diferentseerimiseks on vajalik ja piisav:

1) Nii et esimest järku osatuletised on olemas. Unustage need tähistused kohe, kuna keeruka muutuja funktsioonide teoorias kasutatakse traditsiooniliselt teistsugust tähistust: .

2) Viia läbi nn Cauchy-Riemanni tingimused:

Ainult sel juhul on tuletis olemas!

Näide 3

Lahendus jaguneb kolmeks järjestikuseks etapiks:

1) Leiame funktsiooni tegelikud ja imaginaarsed osad. Seda ülesannet käsitleti eelmistes näidetes, seega kirjutan selle ilma kommentaarideta kirja:

Sellest ajast:

Seega:

– funktsiooni mõtteline osa.

Lubage mul puudutada veel üht tehnilist punkti: mis järjekorras kirjutada terminid reaalses ja mõttelises osas? Jah, põhimõtteliselt pole see oluline. Näiteks saab reaalosa kirjutada järgmiselt: , ja kujuteldav – näiteks see: .

2) Kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Neid on kaks.

Alustame seisukorra kontrollimisega. Leiame osatuletised:

Seega on tingimus täidetud.

Hea uudis on muidugi see, et osatuletised on peaaegu alati väga lihtsad.

Kontrollime teise tingimuse täitmist:

Tulemus on sama, kuid vastupidiste märkidega ehk tingimus on ka täidetud.

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, seega on funktsioon diferentseeritav.

3) Leiame funktsiooni tuletise. Tuletis on samuti väga lihtne ja leitakse tavapäraste reeglite järgi:

Imaginaarset ühikut peetakse diferentseerimisel konstandiks.

Vastus: - pärisosa, – mõtteline osa.
Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Tuletise leidmiseks on veel kaks võimalust, neid kasutatakse muidugi harvemini, kuid teave on kasulik teise õppetunni mõistmiseks - Kuidas leida kompleksmuutuja funktsiooni?

Tuletise saab leida järgmise valemi abil:

Sel juhul:

Seega

Peame lahendama pöördülesande – saadud avaldises peame isoleerima . Selleks on terminites ja sulgudes väljas vajalik:

Pöördtoimingut, nagu paljud on märganud, on mõnevõrra keerulisem teostada; kontrollimiseks on alati parem võtta väljend mustandil või avada sulud suuliselt tagasi, veendudes, et tulemus on täpne

Peegelvalem tuletise leidmiseks:

Sel juhul: , Sellepärast:

Näide 4

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Kui Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, leidke funktsiooni tuletis.

Lõpliku kavandi lühilahendus ja ligikaudne näidis tunni lõpus.

Kas Cauchy-Riemanni tingimused on alati täidetud? Teoreetiliselt ei täitu need sagedamini kui täidetakse. Kuid praktiliste näidete puhul ei mäleta ma juhtumit, kus need poleks täitunud =) Seega, kui teie osatuletised "ei koondu", võite väga suure tõenäosusega öelda, et tegite kuskil vea.

Teeme oma funktsioonid keerulisemaks:

Näide 5

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Arvutama

Lahendus: Lahendusalgoritm on täielikult säilinud, kuid lõppu lisandub uus punkt: tuletise leidmine punktist. Kuubi jaoks on vajalik valem juba tuletatud:

Määratleme selle funktsiooni tegelikud ja kujuteldavad osad:

Tähelepanu ja veelkord tähelepanu!

Sellest ajast:


Seega:
– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Teise tingimuse kontrollimine:

Tulemus on sama, kuid vastupidiste märkidega ehk tingimus on ka täidetud.

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, seega on funktsioon diferentseeritav:

Arvutame tuletise väärtuse vajalikus punktis:

Vastus:, , Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud,

Funktsioonid kuubikutega on tavalised, nii et siin on tugevdamiseks näide:

Näide 6

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Arvutama.

Tunni lõpus lõpetamise lahendus ja näide.

Kompleksanalüüsi teoorias on määratletud ka teised kompleksargumendi funktsioonid: astendaja, siinus, koosinus jne. Nendel funktsioonidel on ebatavalised ja isegi veidrad omadused – ja see on tõesti huvitav! Ma tõesti tahan teile öelda, kuid siin, nagu juhtub, ei ole teatmeteos või õpik, vaid lahenduste raamat, seega käsitlen sama probleemi mõne levinud funktsiooniga.

Kõigepealt nn Euleri valemid:

Kellelegi kehtiv numbrid, kehtivad järgmised valemid:

Saate selle ka oma märkmikusse võrdlusmaterjalina kopeerida.

Rangelt võttes on ainult üks valem, kuid tavaliselt kirjutavad nad mugavuse huvides ka erijuhtu, mille eksponendisse on miinus. Parameeter ei pea koosnema ühest tähest, see võib olla keeruline avaldis või funktsioon, oluline on vaid, et need aktsepteeriksid ainult kehtiv tähendusi. Tegelikult näeme seda kohe:

Näide 7

Leia tuletis.

Lahendus: Peo üldjoon jääb kõigutamatuks – vaja on eristada funktsiooni tegelikke ja kujuteldavaid osi. Annan üksikasjaliku lahenduse ja kommenteerin iga sammu allpool:

Sellest ajast:

(1) Asendage selle asemel "z".

(2) Pärast asendamist peate valima tegelikud ja kujuteldavad osad indikaatoris esimene eksponente. Selleks avage sulgud.

(3) Rühmitame indikaatori mõttelise osa, asetades mõttelise üksuse sulgudest välja.

(4) Kasutame kooli aktsiooni kraadidega.

(5) Kordaja jaoks kasutame Euleri valemit ja .

(6) Avage klambrid, mille tulemuseks on:

– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Edasised toimingud on standardsed; kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist:

Näide 9

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa . Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist. Olgu nii, me ei leia tuletist.

Lahendus: Lahendusalgoritm on väga sarnane kahele eelmisele näitele, kuid seal on väga olulisi punkte, seega kommenteerin uuesti samm-sammult esialgset etappi:

Sellest ajast:

1) Asendage selle asemel "z".

(2) Esiteks valime välja tegelikud ja kujuteldavad osad siinuse sees. Nendel eesmärkidel avame sulgud.

(3) Kasutame valemit ja .

(4) Kasutamine hüperboolse koosinuse paarsus: Ja hüperboolse siinuse veidrus: . Hüperboolsed, kuigi sellest maailmast väljas, meenutavad paljuski sarnaseid trigonomeetrilisi funktsioone.

Lõpuks:
– funktsiooni tegelik osa;
– funktsiooni mõtteline osa.

Tähelepanu! Miinusmärk viitab mõttelisele osale ja mitte mingil juhul ei tohi me seda kaotada! Selge näite huvides saab ülaltoodud tulemuse ümber kirjutada järgmiselt:

Kontrollime Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist:

Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Vastus:, , Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.

Daamid ja härrad, mõtleme selle ise välja:

Näide 10

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa. Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist.

Valisin meelega raskemad näited, sest igaüks paistab millegagi hakkama saavat, näiteks koorega maapähklitega. Samal ajal treenite oma tähelepanu! Tunni lõpus pähklipuru.

Kokkuvõtteks vaatan veel üht huvitavat näidet, kui nimetajas on keeruline argument. Praktikas on seda paar korda juhtunud, vaatame midagi lihtsat. Eh, ma hakkan vanaks jääma...

Näide 11

Määrake funktsiooni tegelik ja kujuteldav osa. Kontrollige Cauchy-Riemanni tingimuste täitmist.

Lahendus: Jällegi on vaja eristada funktsiooni tegelikke ja kujuteldavaid osi.
Kui siis

Tekib küsimus, mida teha, kui nimetajas on “Z”?

Kõik on lihtne - tavaline aitab meetod lugeja ja nimetaja korrutamiseks konjugaadi avaldisega, on seda juba õppetunni näidetes kasutatud Keerulised numbrid mannekeenide jaoks. Meenutagem kooli valemit. Meil on juba nimetaja, mis tähendab, et konjugaadi avaldis on . Seega peate lugeja ja nimetaja korrutama järgmisega:

Teoreem

Funktsiooni jaoks w = f(z) , määratletud mõnes piirkonnas D keeruline tasapind, oli punktis eristatav z 0 = x 0 + iy 0 kompleksmuutuja funktsioonina z, on vajalik ja piisav, et selle tegelik ja kujuteldav osa u Ja v olid hetkel eristatavad ( x 0 ,y 0) reaalmuutujate funktsioonidena x Ja y ja et lisaks sellele on Cauchy-Riemanni tingimused täidetud:

Kui Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud, siis tuletis f"(z) saab esitada mis tahes järgmises vormis:

Tõestus

Tagajärjed

Lugu

Need tingimused ilmusid esmakordselt d'Alemberti töös (1752). Euleri töös, millest 1777. aastal teatati Peterburi Teaduste Akadeemiale, said tingimused esmakordselt funktsioonide analüütilisuse üldise märgi iseloomu. Cauchy kasutas neid seoseid funktsiooniteooria koostamiseks, alustades mälestusteraamatust, mis esitati Pariisi Teaduste Akadeemiale 1814. aastal. Riemanni kuulus väitekiri funktsioonide teooria aluste kohta pärineb 1851. aastast.

Kirjandus

• Shabbat B.V. Sissejuhatus kompleksanalüüsi. - M.: Teadus, . - 577 lk.
• Titchmarsh E. Funktsioonide teooria: Tõlk. inglise keelest - 2. väljaanne, muudetud. - M.: Teadus, . - 464 s.
• Privalov I.I. Sissejuhatus kompleksmuutuja funktsioonide teooriasse: Kõrghariduse käsiraamat. - M.-L.: Riiklik Kirjastus, . - 316 s.
• Evgrafov M. A. Analüütilised funktsioonid. - 2. väljaanne, muudetud. ja täiendav - M.: Teadus, . - 472 s.

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Vaadake, millised on "Cauchy-Riemanni tingimused" teistes sõnaraamatutes:

Riemann, mida nimetatakse ka d'Alembert Euleri tingimusteks, seosed, mis ühendavad keeruka muutuja mis tahes diferentseeruva funktsiooni tegelikke ja kujuteldavaid osi. Sisu 1 Sõnastus ... Wikipedia

Cauchy-Riemanni tingimused ehk D'Alembert Euleri tingimused, tingimused kompleksmuutuja funktsiooni tegelikele u = u(x,y) ja imaginaarsetele v = v(x,y) osadele, tagades f( lõpmatu pideva diferentseeritavuse z) kompleksi funktsioonina... ... Wikipedia

D Alembert Euleri tingimused, tingimused reaalsel u=u(x, y).ja imaginaarsed v=v(x, y) kompleksmuutuja funktsiooni osad, mis tagavad f(z) kui funktsiooni monogeensuse ja analüütilisuse. keerulisest muutujast. Selleks, et funktsioon w=f(z),… … Matemaatiline entsüklopeedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (prantsuse Augustin Louis Cauchy; 21. august 1789, Pariis 23. mai 1857, Saux (Eau de Seine)) Prantsuse matemaatik, Pariisi Teaduste Akadeemia liige, töötas välja matemaatilise analüüsi aluse ja tegi ise tohutu panus analüüsi ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (prantsuse Augustin Louis Cauchy; 21. august 1789, Pariis 23. mai 1857, Saux (Eau de Seine)) Prantsuse matemaatik, Pariisi Teaduste Akadeemia liige, töötas välja matemaatilise analüüsi aluse ja tegi ise tohutu panus analüüsi ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (prantsuse Augustin Louis Cauchy; 21. august 1789, Pariis 23. mai 1857, Saux (Eau de Seine)) Prantsuse matemaatik, Pariisi Teaduste Akadeemia liige, töötas välja matemaatilise analüüsi aluse ja tegi ise tohutu panus analüüsi ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (prantsuse Augustin Louis Cauchy; 21. august 1789, Pariis 23. mai 1857, Saux (Eau de Seine)) Prantsuse matemaatik, Pariisi Teaduste Akadeemia liige, töötas välja matemaatilise analüüsi aluse ja tegi ise tohutu panus analüüsi ... Wikipedia