Ce oferă cunoașterea dimensiunii fractale? Dimensiunile suprafețelor fractale. Indicator de dimensiune fractală ISD

Conceptele de „fractal” și „geometrie fractală” au apărut în anii 70-80 ai secolului trecut. Ele au devenit ferm stabilite printre matematicieni și programatori. Cuvântul „fractal” provine din latinescul fractus, care înseamnă fracționat, format din fragmente. A fost propus de matematicianul american Benoit Mandelbrot în 1975 pentru a desemna structurile neregulate („rupte”) autosimilare de care era preocupat.

Conform definiției date de Mandelbrot, „un fractal este o structură formată din părți care sunt într-un anumit sens similare cu întregul”. Un fractal este o figură geometrică infinit auto-similară, fiecare fragment din care se repetă pe măsură ce scara scade (vezi Fig. 6). Invarianța de scară observată în fractali poate fi fie exactă, fie aproximativă.

Figura 6. Auto-asemănarea fractalilor folosind exemplul mulțimii Mandelbrot

Din punct de vedere matematic, un fractal este, în primul rând, o mulțime de dimensiuni fracționale.

Nașterea geometriei fractale este de obicei asociată cu publicarea cărții lui Mandelbrot „Geometria fractală a naturii” în 1977, în care autorul a colectat și sistematizat rezultatele științifice ale oamenilor de știință care au lucrat în perioada 1875-1925. în aceeași zonă (Poincare, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff).

Geometria fractală este o revoluție în matematică și descrierea matematică a naturii. Iată cum scrie despre aceasta descoperitorul geometriei fractale, însuși B. Mandelbrot: „De ce geometria este adesea numită rece și uscată? Un motiv este incapacitatea sa de a descrie forma unui nor, munte, copac sau malul mării. Norii nu sunt sfere, munții nu sunt conuri, coastele nu sunt cercuri, iar crusta nu este netedă, iar fulgerul nu călătorește în linie dreaptă. Natura ne arată nu doar un grad mai înalt, ci și un nivel complet diferit de complexitate.”

Mandelbrot a arătat că geometria lumii reale nu este euclidiană, ci fractală. Obiectele euclidiene „regulate” sunt o abstractizare matematică, dar natura preferă formele non-netede, aspre, zimțate. La geometria euclidiană a fost adăugată o nouă geometrie, a cărei diferență este că nu funcționează cu obiecte netede și forme familiare precum triunghi, pătrat, cerc, bilă etc. Fractalii descriu multe fenomene fizice și formațiuni naturale cu mare acuratețe. Un fulg de zăpadă, un căluț de mare, ramuri de copaci, un fulger și lanțuri de munți pot fi desenate folosind fractali. Prin urmare, mulți oameni de știință moderni spun că natura are proprietatea fractalității.

Dimensiune fractală

Caracteristica principală a obiectelor fractale este că pentru a le descrie, dimensiunea topologică „standard” (pentru spațiu, pentru o suprafață - , pentru o linie - , pentru un punct), care, după cum se știe, este întotdeauna un număr întreg, nu este suficient. Dimensiunea a fost înțeleasă ca numărul minim de parametri necesari pentru a descrie poziția unui punct în spațiu. Inconsecvența unei astfel de percepții naive a devenit evidentă după descoperirea unei corespondențe unu-la-unu între punctele unui segment și un pătrat și o mapare continuă a unui segment la un pătrat (vezi Fig. 7). Prima dintre ele a fost construită de Cantor (1877), a doua de Peano (1890).

Figura 7. Construcția liniei Peano

Fractalii sunt caracterizați de „regalitate” geometrică. Prin urmare, se folosește un concept special de dimensiune fractală, introdus de F. Hausdorff și A.S. Besikovici. Când este aplicată obiectelor ideale ale geometriei euclidiene clasice, a dat aceleași valori numerice ca și dimensiunea topologică, dar noua dimensiune a avut o sensibilitate mai subtilă la tot felul de imperfecțiuni ale obiectelor reale, făcând posibilă distingerea și individualizarea a ceea ce era înainte fără chip și imposibil de distins. Acest instrument subtil vă permite să concluzionați de ce obiect geometric obișnuit - un punct, linie sau plan - un anumit set fractal exotic este mai aproape.

Mandelbrot a dat o definiție matematică strictă a unui fractal ca o mulțime a cărei dimensiune Hausdorff este strict mai mare decât dimensiunea sa topologică. În timp ce o linie euclidiană netedă umple exact spațiul unidimensional, o curbă fractală invadează spațiul bidimensional deoarece dimensiunea sa este între 1 și 2. Fractalii sunt linii „duble” întrerupte la infinit. Se aseamănă cu un acordeon, din care fiecare piesă, chiar și una foarte mică, dacă încerci să o îndrepti, se dovedește a fi infinit de lungă.

Să discutăm despre dimensiunea fractală folosind exemplul fractalilor obișnuiți (abstracție matematică). Să considerăm mai întâi un segment de unitate de lungime, care este împărțit în bucăți egale de lungime, astfel încât. Pe măsură ce valoarea scade, aceasta crește liniar, așa cum ar fi de așteptat pentru o curbă unidimensională. În mod similar, dacă împărțim un pătrat de unitate de suprafață în pătrate egale cu o latură, obținem rezultatul așteptat pentru un obiect bidimensional. Se poate argumenta că, în cazul general, unde este dimensiunea obiectului (vezi Fig. 8).

Figura 8. Acoperirea unui obiect cu cuburi n-dimensionale

În consecință, luând logaritmul ambelor părți ale acestei egalități și trecând la limită deoarece tinde spre zero, putem exprima dimensiunea sub forma:

Această egalitate este definiția dimensiunii Hausdorff sau fractale, care ia de obicei valori fracționale.

Să dăm un exemplu de mulțime formată din puncte individuale, dar având tot atâtea dintre ele cât orice segment al axei reale. Luați un segment de lungime 1. Împărțindu-l în trei părți egale, eliminați partea din mijloc. Aceeași procedură o vom face cu celelalte două segmente și ca urmare vom obține 4 segmente de 1/9 lungime fiecare etc. la infinit – fig. 9.

Figura 9. Construcția setului Cantor

Setul de puncte care ia naștere după această procedură este setul Cantor. Este ușor de observat că lungimea acestui set este zero. Într-adevăr,

Să găsim acum dimensiunea Hausdorff sau fractală. Pentru a face acest lucru, alegem ca „standard” un segment de lungime

Numărul minim de astfel de segmente necesare pentru acoperirea setului este egal cu

Prin urmare dimensiunea sa fractală

De asemenea, dimensiunea poate fi determinată în funcție de dependența modificării dimensiunii părții din spațiu ocupată de obiect de modificarea dimensiunilor sale liniare:

Pentru linie. Pentru un avion. Pentru volum.

Să facem următorul experiment: luați un triunghi echilateral și înlocuiți secvențial fiecare linie care o alcătuiește cu alte patru, așa cum se arată în Figura 10.

Figura 10. Construcția fulgului de zăpadă Koch

Repetând această operație suficient de lungă, vom obține un anumit obiect care seamănă cu un fulg de nea (numit fulg de nea Koch), iar cu fiecare pas lungimea curbei care limitează aria fulgului de nea crește cu o treime. Dimensiunea sa va fi egală, deoarece cu fiecare creștere a fulgului de zăpadă de trei ori, lungimea curbei crește cu patru. Dacă lăsați numărul de iterații să meargă la infinit, ajungeți la un obiect a cărui zonă finită este limitată de o curbă infinită.

• 07 octombrie 2016, ora 15:50
• Markin Pavel
• Sigiliu

Un algoritm simplificat pentru calcularea valorii aproximative a dimensiunii Minkowski pentru o serie de prețuri.

Informatie scurta:

Dimensiunea Minkowski este una dintre modalitățile de a specifica dimensiunea fractală a unei mulțimi mărginite într-un spațiu metric și este definită după cum urmează:

• unde N(ε) este numărul minim de seturi de diametru ε care pot acoperi setul original.

Dimensiunea Minkowski are și un alt nume - dimensiunea de numărare a casetelor, din cauza unui mod alternativ de a-l defini, care, de altfel, dă un indiciu asupra metodei de calcul chiar a acestei dimensiuni. Să luăm în considerare cazul bidimensional, deși o definiție similară se extinde la cazul n-dimensional. Să luăm un set limitat în spațiu metric, de exemplu, o imagine alb-negru, să desenăm o grilă uniformă pe ea cu un pas ε și să pictăm peste acele celule ale grilei care conțin cel puțin un element din setul dorit. începe să reducă dimensiunea celulelor, adică ε, atunci dimensiunea Minkowski va fi calculată folosind formula de mai sus, examinând rata de modificare a raportului logaritmului.

• cometariu
• Comentarii ( 23 )

Indicator de dimensiune fractală ISD

• 16 aprilie 2012, ora 18:17
• Cartist
• Sigiliu

Preparat din materiale de Eric Long.

În această lucrare, se încearcă „traducerea” teoriei analizei fractale (lucrări ale lui Peters, Mandelbrot) pentru utilizare practică.
Haosul există peste tot: în fulgere, vreme, cutremure și piețele financiare. Evenimentele haotice pot părea aleatorii, dar nu sunt. Haosul este un sistem dinamic care pare aleatoriu, dar este de fapt cea mai înaltă formă de ordine.
Sistemele sociale și naturale, inclusiv instituțiile private, guvernamentale și financiare, toate se încadrează în această categorie. În fiecare sistem creat de oameni, există multe intrări interconectate care influențează sistemul în moduri imprevizibile.
Când discutăm despre teoria haosului aplicată tranzacționării, scopul nostru este să identificăm un eveniment aparent aleatoriu de pe piață care, totuși, are un anumit grad de predictibilitate. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de un instrument care să ne permită să ne imaginăm o ordine haotică. Acest instrument este un fractal. Fractalii sunt obiecte cu părți individuale auto-similare. În piață, un fractal poate fi un obiect sau „secvență de timp” care seamănă între ele în diferite intervale de timp: 3 minute, 30 de minute, 3 zile. Obiectele pot diferi unele de altele la diferite scări de studiu, totuși, dacă le luăm în considerare separat, ar trebui să aibă caracteristici comune pentru toate intervalele de timp.

Destul de des auziți vorbindu-se despre relația dintre diferitele valute de pe piața Forex.

Discuția principală se rezumă de obicei la factori fundamentali, experiență practică sau pur și simplu speculații bazate pe stereotipurile personale ale vorbitorului. Ca caz extrem, există ipoteza uneia sau mai multor valute „lumii” care „trag” pe toate celelalte împreună cu ele.

Într-adevăr, care este relația dintre diferite citate? Se mișcă în mod concertat sau informațiile despre direcția de mișcare a unei monede nu spun nimic despre mișcarea alteia? Acest articol încearcă să înțeleagă această problemă folosind metode de dinamică neliniară și geometrie fractală.

1. Partea teoretică

1.1. Variabile dependente și independente

Luați în considerare două variabile (ghilimele) x și y. În orice moment, valorile instantanee ale acestor variabile determină un punct pe planul XY (Fig. 1). Mișcarea unui punct în timp formează o traiectorie. Forma și tipul acestei traiectorii vor fi determinate de tipul de relație dintre variabile.

De exemplu, dacă variabila x nu este în niciun fel conectată cu variabila y, atunci nu vom vedea nicio structură regulată: cu un număr suficient de puncte, acestea vor umple uniform planul XY (Fig. 2).

Dacă există o relație între x și y, atunci o structură regulată va fi vizibilă: în cel mai simplu caz va fi o curbă (Fig. 3),

Figura 3. Prezența corelațiilor- curba

deşi poate exista o structură mai complexă (fig. 4).

Același lucru este tipic pentru spațiul tridimensional și mai mult: dacă există o legătură sau dependență între toate variabilele, atunci punctele vor forma o curbă (Fig. 5), dacă există două variabile independente în mulțime, atunci punctele va forma o suprafață (Fig. 6), dacă trei - atunci punctele vor umple spațiul tridimensional etc.

Dacă nu există nicio legătură între variabile, atunci punctele vor fi distribuite uniform pe toate dimensiunile disponibile (Fig. 7). Astfel, putem judeca natura relației dintre variabile determinând modul în care punctele umplu spațiul.

Mai mult, forma structurii rezultate (linie, suprafață, figură volumetrică etc.), în acest caz, nu contează.

Important dimensiune fractală a acestei structuri: linia are dimensiunea egală cu 1, suprafața - 2, structura volumetrică - 3 etc. De obicei, valoarea dimensiunii fractale poate fi considerată a corespunde numărului de variabile independente din setul de date.

Putem întâlni și dimensiuni fracționale, de exemplu, 1,61 sau 2,68. Acest lucru se poate întâmpla dacă structura rezultată se dovedește a fi fractal- un set auto-similar cu dimensiunea non-întreg. Un exemplu de fractal este prezentat în Figura 8; dimensiunea acestuia este de aproximativ 1,89, adică nu mai este o linie (dimensiune egală cu 1), dar nu mai este o suprafață (dimensiune egală cu 2).

Dimensiunea fractală poate fi diferită pentru același set la scări diferite.

De exemplu, dacă vă uitați la setul prezentat în Figura 9 „de departe”, puteți vedea clar că aceasta este o linie, adică dimensiunea fractala a acestei multimi este egala cu unu. Dacă ne uităm la același set „închidere”, vom vedea că aceasta nu este deloc o linie, ci o „țeavă vagă” - punctele nu formează o linie clară, ci sunt colectate aleatoriu în jurul acesteia. Dimensiunea fractală a acestei „țevi” trebuie să fie egală cu dimensiunea spațiului în care considerăm structura noastră, deoarece punctele din „țeavă” vor umple uniform toate dimensiunile disponibile.

Creșterea dimensiunii fractale la scară mică face posibilă determinarea dimensiunii la care relațiile dintre variabile devin indistinguibile din cauza zgomotului aleatoriu prezent în sistem.

Figura 9. Exemplu de „țeavă” fractală

1.2. Definiţia fractal dimension

Pentru a determina dimensiunea fractală, puteți utiliza algoritmul de numărare a casetelor, bazat pe studierea dependenței numărului de cuburi care conțin puncte ale mulțimii de dimensiunea muchiei cubului (aici nu ne referim neapărat la cuburi tridimensionale : în spațiul unidimensional un „cub” va fi un segment, în spațiul bidimensional un pătrat etc. .d.).

Teoretic, această dependență are forma N(ε)~1/ε D, unde D este dimensiunea fractală a mulțimii, ε este dimensiunea muchiei cubului, N(ε) este numărul de cuburi care conțin puncte ale mulțimii cu dimensiunea cubului ε. Acest lucru ne permite să determinăm dimensiunea fractală

Fără a intra în detalii ale algoritmului, funcționarea acestuia poate fi descrisă după cum urmează:

Mulțimea punctelor studiate este împărțită în cuburi de dimensiunea ε și se numără numărul de cuburi N care conțin cel puțin un punct din mulțime.

Pentru ε diferite se determină valoarea corespunzătoare a lui N, adică. datele sunt acumulate pentru a construi dependența N(ε).

Dependența N(ε) este reprezentată în coordonate logaritmice duble și se determină unghiul de înclinare a acesteia, care va fi valoarea dimensiunii fractale.

De exemplu, Figura 10 prezintă două seturi: o figură plată (a) și o linie (b). Celulele care conțin puncte de referință sunt colorate cu gri. Numărând numărul de celule „gri” la diferite dimensiuni de celule, obținem dependențele prezentate în Figura 11. Determinând panta dreptelor care aproximează aceste dependențe, găsim dimensiunile fractale: Da≈2, Db≈1.

În practică, pentru a determina dimensiunea fractală, ei folosesc de obicei nu contorizarea casetelor, ci algoritmul Grassberg-Procaccia, deoarece dă rezultate mai precise în spații de dimensiuni mari. Ideea algoritmului este de a obține dependența C(ε) - probabilitatea ca două puncte ale unei mulțimi să cadă într-o celulă de dimensiunea ε de dimensiunea celulei și de a determina panta porțiunii liniare a acestei dependențe.

Din păcate, luarea în considerare a tuturor aspectelor legate de determinarea dimensiunii este imposibilă în scopul acestui articol. Dacă doriți, puteți găsi informațiile necesare în literatura de specialitate.

1.3. Un exemplu de determinare a dimensiunii fractale

Pentru a ne asigura că metoda propusă funcționează, să încercăm să determinăm nivelul de zgomot și numărul de variabile independente pentru mulțimea prezentată în Figura 9. Acest set tridimensional este format din 3000 de puncte și este o linie (o variabilă independentă) cu zgomot. suprapus pe ea. Zgomotul are o distribuție normală cu o abatere standard de 0,01.

Figura 12 arată dependența lui C(ε) pe o scară logaritmică. Pe ea vedem două secțiuni liniare care se intersectează la ε≈2 -4,6 ≈0,04. Panta primei linii este ≈2,6, iar a doua ≈1,0.

Rezultatele obținute înseamnă că setul de testare are o variabilă independentă la o scară mai mare de 0,0 și „aproape trei” variabile independente sau zgomot suprapus la o scară mai mică de 0,04. Acest lucru este în acord cu datele originale: conform regulii „trei sigma”, 99,7% din puncte formează o „țeavă” cu un diametru de 2*3*0,01≈0,06.

Figura 12. Dependența lui C(e) pe o scară logaritmică

2. Partea practică

2.1. Datele inițiale

Pentru a studia proprietățile fractale ale pieței Forex, au fost utilizate date disponibile publicului,care acoperă perioada 2000-2009 inclusiv. Studiul a fost realizat pe prețurile de închidere a șapte perechi valutare majore: EURUSD, USDJPY, GBPUSD, AUDUSD, USDCHF, USDCAD, NZDUSD.

2.2. Implementarea

Algoritmii pentru determinarea dimensiunii fractale sunt implementați ca funcții ale mediului MATLAB pe baza dezvoltărilor profesorului dr. Michael Small. ). Funcțiile cu exemple de utilizare sunt disponibile în arhiva frac.rar atașată acestui articol.

Pentru a accelera calculele, etapa cea mai laborioasă este efectuată în limbajul C. Înainte de a o utiliza, trebuie să compilați funcția C „interbin.c” folosind comanda MATLAB „mex interbin.c”.

2.3. Rezultatele cercetării

Figura 13 arată mișcarea comună a cotațiilor EURUSD și GBPUSD din 2000 până în 2010. Valorile citatelor sunt prezentate în figurile 14 și 15.

Dimensiunea fractală a setului prezentat în Figura 13 este aproximativ egală cu 1,7 (Figura 16). Aceasta înseamnă că mișcarea EURUSD + GBPUSD nu formează o plimbare aleatoare „pură”, altfel dimensiunea ar fi egală cu 2 (dimensiunea unei mers aleatorii în spații bidimensionale sau mai multe este întotdeauna egală cu 2).

Cu toate acestea, deoarece mișcarea cotațiilor este foarte asemănătoare cu o plimbare aleatorie, nu putem studia în mod direct valorile cotațiilor în sine - atunci când adăugăm noi perechi valutare, dimensiunea fractală se modifică ușor (Tabelul 1) și nu se pot trage concluzii.

Tabelul 1. Modificarea dimensiunii odată cu creșterea numărului de valute

Pentru a obține rezultate mai interesante, ar trebui să treceți de la ghilimele în sine la modificările lor.

Tabelul 2 prezintă valorile dimensiunilor pentru diferite intervale de increment și diferite numere de perechi valutare.

Tabelul 2. Modificarea dimensiunii la diferite intervale de creștere

Dacă monedele sunt interconectate, atunci odată cu adăugarea fiecărei perechi valutare noi, dimensiunea fractală ar trebui să crească din ce în ce mai puțin și, în cele din urmă, ar trebui să convergă către o anumită valoare care va arăta numărul de „variabile libere” de pe piața valutară.

De asemenea, dacă presupunem că „zgomotul pieței” este suprapus pe cotații, atunci la intervale mici (M5, M15, M30) este posibil să umplem toate măsurătorile disponibile cu zgomot și acest efect ar trebui să slăbească pe perioade mari de timp, „expunând” dependențe între ghilimele (similar cu exemplul de testare).

După cum se poate observa din Tabelul 2, această ipoteză nu a fost confirmată de date reale: pe toate intervalele de timp setul umple toate dimensiunile disponibile, de exemplu. toate monedele sunt independente unele de altele.

Acest lucru contrazice oarecum convingerile intuitive despre conexiunea dintre monede. Se pare că monede similare, precum GBP și CHF sau AUD și NZD, ar trebui să prezinte o dinamică similară. De exemplu, Figura 17 arată dependența creșterilor NZDUSD de AUDUSD pentru intervale de cinci minute (coeficient de corelare 0,54) și zilnic (coeficient de corelare 0,84).

Figura 17. Dependența creșterilor NZDUSD de AUDUSD pentru intervalele M5 (0,54) și D1 (0,84)

Din această figură este clar că pe măsură ce intervalul crește, dependența devine din ce în ce mai diagonală și coeficientul de corelație crește. Dar, din „punctul de vedere” al dimensiunii fractale, nivelul de zgomot este prea mare pentru a considera această dependență ca o linie unidimensională. Este posibil ca pe intervale mai lungi (săptămâni, luni) dimensiunile fractale să convergă către o anumită valoare, dar nu avem cum să verificăm acest lucru - sunt prea puține puncte pentru a determina dimensiunea.

Concluzie

Desigur, ar fi mai interesant să se reducă mișcarea monedelor la una sau mai multe variabile independente - acest lucru ar simplifica foarte mult sarcina de a reconstrui atractorul pieței și de a prezice cotațiile. Dar piața arată un rezultat diferit: dependențele sunt slab exprimate și „bine ascunse” în mult zgomot. În acest sens, piața este foarte eficientă.

Metodele de dinamică neliniară, care arată în mod constant rezultate bune în alte domenii: medicină, fizică, chimie, biologie etc., necesită o atenție deosebită și o interpretare atentă a rezultatelor atunci când se analizează cotațiile pieței.

Rezultatele obtinute nu ne permit sa afirmam fara echivoc prezenta sau absenta unei legaturi intre valute. Putem spune doar că pe intervalele de timp luate în considerare, nivelul de zgomot este comparabil cu „puterea” conexiunii, așa că problema conexiunii dintre valute rămâne deschisă.

Se vorbește mult despre fractali. Pe Web au fost create sute de site-uri dedicate fractalilor. Dar majoritatea informațiilor se rezumă la faptul că fractalii sunt frumoși. Misterul fractalilor se explică prin dimensiunea lor fracțională, dar puțini oameni înțeleg ce este dimensiunea fracțională.

În jurul anului 1996, m-am interesat de ce este dimensiunea fracțională și care este semnificația ei. Imaginează-ți surpriza mea când am aflat că acesta nu este un lucru atât de dificil și orice școlar îl poate înțelege.

Voi încerca să explic aici în mod popular ce este o dimensiune fracțională. Pentru a compensa lipsa acută de informare pe această temă.

Corpuri de măsurare

În primul rând, o scurtă introducere pentru a aduce într-o anumită ordine ideile noastre de zi cu zi despre măsurarea corpurilor.

Fără a ne strădui pentru precizia matematică a formulărilor, să ne dăm seama ce dimensiune, măsura și dimensiunea sunt.

Dimensiunea unui obiect poate fi măsurată cu o riglă. În cele mai multe cazuri, dimensiunea se dovedește a fi neinformativă. Care „munte” este mai mare?

Dacă comparați înălțimile, atunci roșul este mai mare, dacă lățimile sunt verzi.

Comparațiile de mărime pot fi informative dacă articolele sunt similare între ele:

Acum, indiferent de ce dimensiuni comparăm: lățime, înălțime, latură, perimetru, raza unui cerc înscris sau orice altele, se va dovedi întotdeauna că muntele verde este mai mare.

Măsura servește și la măsurarea obiectelor, dar nu se măsoară cu o riglă. Vom vorbi mai târziu despre cum se măsoară exact, dar deocamdată să remarcăm proprietatea sa principală - măsura este aditivă.

Exprimată în limbajul de zi cu zi, atunci când două obiecte se îmbină, măsura sumei obiectelor este egală cu suma măsurilor obiectelor originale.

Pentru obiectele unidimensionale, măsura este proporțională cu dimensiunea. Dacă luați segmente de 1cm și 3cm lungime și le „adunați” împreună, atunci segmentul „total” va avea o lungime de 4cm (1+3=4cm).

Pentru corpurile neunidimensionale, măsura este calculată în conformitate cu anumite reguli, care sunt selectate astfel încât măsura să păstreze aditivitatea. De exemplu, dacă luați pătrate cu laturile de 3 cm și 4 cm și le „îndoiți” (le îmbinați), atunci suprafețele se vor aduna (9 + 16 = 25 cm²), adică latura (dimensiunea) rezultatul va fi de 5 cm.

Atât termenii, cât și suma sunt pătrate. Sunt asemănătoare între ele și le putem compara dimensiunile. Se pare că mărimea sumei nu este egală cu suma dimensiunilor termenilor (5≄4+3).

Cum sunt legate măsura și mărimea?

Dimensiune

Tocmai dimensiunea este cea care ne permite să conectăm măsura și dimensiunea.

Să notăm dimensiunea - D, măsura - M, dimensiunea - L. Apoi formula care conectează aceste trei mărimi va arăta astfel:

Pentru măsurile care ne sunt familiare, această formulă îmbracă forme familiare. Pentru corpurile bidimensionale (D=2) măsura (M) este aria (S), pentru corpurile tridimensionale (D=3) - volumul (V):

S = L2, V = L3

Cititorul atent se va întreba, cu ce drept am scris semnul egal? Ei bine, aria unui pătrat este egală cu pătratul laturii sale, dar cum rămâne cu aria unui cerc? Această formulă funcționează pentru orice obiect?

Da și nu. Puteți înlocui egalitățile cu proporționalitate și introduceți coeficienți sau puteți presupune că introducem dimensiunile corpurilor exact astfel încât formula să funcționeze. De exemplu, pentru un cerc vom numi dimensiunea lungimii arcului egală cu rădăcina radianilor „pi”. De ce nu?

În orice caz, prezența sau absența coeficienților nu va schimba esența raționamentelor ulterioare. Pentru simplitate, nu voi introduce coeficienți; dacă doriți, puteți să le adăugați singur, să repetați toate raționamentul și să vă asigurați că ele (raționamentul) nu și-au pierdut valabilitatea.

Din tot ceea ce s-a spus, ar trebui să tragem o concluzie: dacă cifra este redusă de N ori (la scară), atunci se va potrivi în N D ori inițial.

Într-adevăr, dacă reduceți segmentul (D = 1) de 5 ori, atunci acesta se va potrivi în original de exact cinci ori (5 1 = 5); Dacă triunghiul (D = 2) este redus de 3 ori, atunci se va potrivi în originalul de 9 ori (3 2 = 9).

Dacă cubul (D = 3) este redus de 2 ori, atunci se va potrivi în originalul de 8 ori (2 3 = 8).

Opusul este, de asemenea, adevărat: dacă, la reducerea dimensiunii unei figuri de N ori, se dovedește că aceasta se încadrează în originalul de n ori (adică măsura sa a scăzut de n ori), atunci dimensiunea poate fi calculată folosind formula.

A treia proprietate a fractalilor este că obiectele fractale au o dimensiune diferită de cea euclidiană (cu alte cuvinte, dimensiunea topologică). Dimensiunea fractală este un indicator al complexității curbei. Analizând alternanța zonelor cu dimensiuni fractale diferite și modul în care sistemul este afectat de factori externi și interni, puteți învăța să preziceți comportamentul sistemului. Și cel mai important, diagnosticați și preziceți condițiile instabile.

În arsenalul matematicii moderne, Mandelbrot a găsit o măsură cantitativă convenabilă a imperfecțiunii obiectelor - tortuozitatea conturului, încrețirea suprafeței, fracturarea și porozitatea volumului. A fost propus de doi matematicieni - Felix Hausdorff (1868-1942) și Abram Samoilovici Besikovici (1891-1970). În zilele noastre poartă pe merit numele glorioase ale creatorilor săi - dimensiunea Hausdorff-Besikovici. Ce este dimensiunea și de ce avem nevoie de ea în raport cu analiza piețelor financiare? Înainte de aceasta, cunoșteam un singur tip de dimensiune - topologică (Fig. 3.11). Cuvântul dimensiune însuși arată câte dimensiuni are un obiect. Pentru o linie dreaptă este egală cu 1, adică avem o singură dimensiune și anume lungimea liniei. Pentru un plan, dimensiunea va fi 2, deoarece avem o dimensiune bidimensională, lungime și lățime. Pentru obiecte spațiale sau volumetrice, dimensiunea este 3: lungime, lățime și înălțime.

Să ne uităm la un exemplu cu jocuri pe calculator. Dacă jocul este realizat în grafică 3D, atunci este spațial și tridimensional, dacă în grafică 2D, grafica este reprezentată pe un plan (Fig. 3.10).

Cel mai neobișnuit (ar fi mai corect să spunem neobișnuit) despre dimensiunea Hausdorff-Besicovitch a fost că ar putea lua nu numai valori întregi, ca o dimensiune topologică, ci și valori fracționale. Egal cu unu pentru o linie dreaptă (segment infinit, semi-infinit sau finit), dimensiunea Hausdorff-Besicovitch crește pe măsură ce crește sinuozitatea, în timp ce dimensiunea topologică ignoră cu încăpățânare toate modificările care apar cu linia.

Dimensiunea caracterizează complicația unui set (de exemplu, o linie). Dacă aceasta este o curbă cu o dimensiune topologică egală cu 1 (linie dreaptă), atunci curba poate fi complicată de un număr infinit de coturi și ramuri într-o asemenea măsură încât dimensiunea sa fractală se apropie de două, adică. va umple aproape întregul plan (Fig. 3.12).

Creștendu-și valoarea, dimensiunea Hausdorff–Besicovitch nu o schimbă brusc, așa cum ar face dimensiunea topologică „în locul ei”, trecând de la 1 drept la 2. Dimensiunea Hausdorff–Besicovitch — și acest lucru poate părea neobișnuit și surprinzător la prima vedere. — preia valori fracționale : egal cu unu pentru o linie dreaptă, devine egal cu 1,15 pentru o linie ușor curbată, 1,2 pentru una mai curbă, 1,5 pentru una foarte curbă etc. (Fig. 3.13).

Tocmai pentru a sublinia în mod special capacitatea dimensiunii Hausdorff-Besicovitch de a lua valori fracționale, neîntregi, Mandelbrot a venit cu neologismul său, numindu-l dimensiunea fractală. Deci, dimensiunea fractală (nu numai Hausdorff-Besicovitch, ci orice alta) este o dimensiune care poate lua nu neapărat valori întregi, ci și fracționale.

Pentru fractalii geometrici liniari, dimensiunea caracterizează auto-asemănarea acestora. Luați în considerare Fig. 3.17 (a), linia este formată din N = 4 segmente, fiecare dintre ele având o lungime de r = 1/3. Ca rezultat, obținem raportul:

D = logN/log(1/r)

Situația este complet diferită atunci când vorbim despre multifractali (obiecte neliniare). Aici dimensiunea își pierde sensul ca definiție a asemănării unui obiect și este definită prin diverse generalizări, mult mai puțin naturale decât dimensiunea unică a fractalilor liniari autosimilari. În multifractali, valoarea lui H acționează ca un indicator al dimensiunii. Vom analiza acest lucru mai detaliat în capitolul „Definirea unui ciclu pe piața valutară”.

Valoarea dimensiunii fractale poate servi ca un indicator care determină numărul de factori care influențează sistemul. Pe piața valutară, dimensiunea poate caracteriza volatilitatea prețurilor. Fiecare pereche valutară are propriul ei comportament. Perechea GBP/USD se comportă mai impulsiv decât EUR/USD. Cel mai interesant lucru este că aceste monede se deplasează cu aceeași structură la niveluri de preț, cu toate acestea, dimensiunile lor sunt diferite, ceea ce poate afecta tranzacționarea intraday și schimbările de model care scapă ochiului neexperimentat.

Cu o dimensiune fractală mai mică de 1,4, sistemul este afectat de una sau mai multe forțe care mișcă sistemul într-o direcție. Dacă dimensiunea este de aproximativ 1,5, atunci forțele care acționează asupra sistemului sunt multidirecționale, dar se compensează mai mult sau mai puțin reciproc. Comportamentul sistemului în acest caz este stocastic și este bine descris de metodele statistice clasice. Dacă dimensiunea fractală este semnificativ mai mare de 1,6, sistemul devine instabil și este gata să treacă la o nouă stare. Din aceasta putem concluziona că cu cât observăm structura este mai complexă, cu atât probabilitatea unei mișcări puternice crește din ce în ce mai mult.

Figura 3.14 arată dimensiunea aplicată modelului matematic pentru a vă oferi o înțelegere mai profundă a semnificației acestui termen. Rețineți că toate cele trei imagini arată un ciclu. În Fig. 3.14(a) dimensiunea este 1,2, în Fig. 3.14(b) dimensiunea este 1,5, iar în Fig. 3. 14 litera (c) 1.9. Se poate observa că odată cu creșterea dimensiunii, percepția unui obiect devine mai complicată, iar amplitudinea vibrațiilor crește.

Pe piețele financiare, dimensionalitatea se reflectă nu numai în calitatea volatilității prețurilor, ci și în calitatea detaliilor ciclului (valuri). Datorită acesteia, vom putea distinge dacă o undă aparține unei anumite scale de timp.

Figura 3.15 arată perechea EUR/USD pe o scară zilnică de preț. Vă rugăm să rețineți că ciclul format și începutul unui nou ciclu mai mare sunt clar vizibile. Trecând la o scară orară și mărind unul dintre cicluri, vom putea observa cicluri mai mici, și o parte a unuia mare situat pe scara D1 (Fig. 3.16). Detalierea ciclurilor, de ex. dimensiunea lor ne permite să stabilim din condiţiile iniţiale cum se poate dezvolta situaţia în viitor. Putem spune că: dimensiunea fractală reflectă proprietatea invarianței la scară a mulțimii luate în considerare.

Conceptul de invarianță a fost introdus de Mandelbrot din cuvântul „scalant” - scalabil, i.e. când un obiect are proprietatea de invarianță, are diferite niveluri (scări) de afișare.

În figură, cercul „A” evidențiază un mini ciclu (undă detaliată), cercul „B” – un val al unui ciclu mai mare. Datorită dimensiunii undelor, putem determina întotdeauna dimensiunea ciclului.

Astfel, putem spune că fractalii ca modele sunt utilizați în cazul în care un obiect real nu poate fi reprezentat sub forma unor modele clasice. Aceasta înseamnă că avem de-a face cu relații neliniare și cu natura nedeterministă (aleatorie) a datelor. Neliniaritatea în sens ideologic înseamnă multe căi de dezvoltare, prezența unei alegeri dintre căi alternative și un anumit ritm de evoluție, precum și ireversibilitatea proceselor evolutive. Neliniaritatea în sens matematic înseamnă un anumit tip de ecuații matematice (ecuații diferențiale neliniare) care conțin mărimile dorite în puteri mai mari de unu sau coeficienți în funcție de proprietățile mediului.

Când aplicăm modele clasice (de exemplu, tendință, regresie etc.), spunem că viitorul obiectului este determinat în mod unic, i.e. depinde complet de condițiile inițiale și poate fi prezis clar. Puteți rula singur unul dintre aceste modele în Excel. Un exemplu de model clasic poate fi reprezentat ca o tendință în continuă scădere sau creștere. Și putem prezice comportamentul acestuia cunoscând trecutul obiectului (date de intrare pentru modelare). Iar fractalii sunt folosiți în cazul în care un obiect are mai multe opțiuni de dezvoltare, iar starea sistemului este determinată de poziția în care se află în prezent. Adică, încercăm să simulăm dezvoltarea haotică, ținând cont de condițiile inițiale ale obiectului. Piața valutară interbancară este tocmai un astfel de sistem.

Să vedem acum cum dintr-o linie dreaptă puteți obține ceea ce numim un fractal, cu proprietățile sale inerente.

Figura 3.17(a) prezintă curba Koch. Să luăm un segment de dreaptă, lungimea lui = 1, adică. este încă o dimensiune topologică. Acum îl vom împărți în trei părți (fiecare 1/3 din lungime) și vom elimina treimea din mijloc. Dar vom înlocui treimea mijlocie cu două segmente (fiecare 1/3 din lungime), care pot fi considerate ca două laturi ale unui triunghi echilateral. Această etapă a doi (b) proiectare este prezentată în Fig. 3.17(a). În acest moment avem 4 părți mai mici, fiecare 1/3 din lungime, deci întreaga lungime este 4(1/3) = 4/3. Repetăm ​​apoi acest proces pentru fiecare dintre cele 4 părți mai mici de linie. Aceasta este etapa a treia (c). Acest lucru ne va oferi 16 cote de linie și mai mici, fiecare 1/9 din lungime. Deci întreaga lungime este acum 16/9 sau (4/3)2. Ca rezultat, am obținut o dimensiune fracțională. Dar acesta nu este singurul lucru care distinge structura rezultată de una dreaptă. A devenit auto-similar și este imposibil să desenați o tangentă în oricare dintre punctele sale (Fig. 3.17 (b)).