Un quadrilatero in cui solo due lati sono paralleli si chiama trapezio.

I lati paralleli di un trapezio si chiamano suoi motivi, e si chiamano quei lati che non sono paralleli lati. Se i lati sono uguali, il trapezio è isoscele. La distanza tra le basi si chiama altezza del trapezio.

Trapezio della linea mediana

La linea mediana è un segmento che collega i punti medi dei lati del trapezio. La linea mediana del trapezio è parallela alle sue basi.

Teorema:

Se la retta che attraversa il centro di un lato è parallela alle basi del trapezio, allora divide in due il secondo lato del trapezio.

Teorema:

La lunghezza della linea mediana è uguale alla media aritmetica delle lunghezze delle sue basi

MN linea mediana, AB e CD - basi, AD e BC - lati laterali

MN = (AB + DC)/2

Teorema:

La lunghezza della linea mediana di un trapezio è uguale alla media aritmetica delle lunghezze delle sue basi.

Il compito principale: Dimostrare che la linea mediana di un trapezio divide in due un segmento i cui estremi si trovano al centro delle basi del trapezio.

Linea mediana del triangolo

Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo si chiama linea mediana del triangolo. È parallelo al terzo lato e la sua lunghezza è pari alla metà della lunghezza del terzo lato.
Teorema: Se la linea che interseca il punto medio di un lato di un triangolo è parallela all'altro lato del triangolo, allora divide in due il terzo lato.

AM = MC e BN = NC =>

Applicazione delle proprietà della linea mediana di un triangolo e di un trapezio

Dividere un segmento in un certo numero di parti uguali.
Obiettivo: dividere il segmento AB in 5 parti uguali.
Soluzione:
Sia p un raggio casuale la cui origine è il punto A e che non giace sulla retta AB. Mettiamo da parte in sequenza 5 segmenti uguali su p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Colleghiamo A 5 a B e tracciamo tali linee attraverso A 4, A 3, A 2 e A 1 che sono parallele ad A 5 B. Esse intersecano AB rispettivamente nei punti B 4, B 3, B 2 e B 1. Questi punti dividono il segmento AB in 5 parti uguali. Infatti dal trapezio BB 3 A 3 A 5 vediamo che BB 4 = B 4 B 3. Allo stesso modo dal trapezio B 4 B 2 A 2 A 4 si ottiene B 4 B 3 = B 3 B 2

Mentre dal trapezio B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Allora da B 2 AA 2 segue che B 2 B 1 = B 1 A. In conclusione otteniamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
È chiaro che per dividere il segmento AB in un altro numero di parti uguali occorre proiettare sulla semiretta p lo stesso numero di segmenti uguali. E poi proseguire nel modo sopra descritto.

A volte gli argomenti spiegati a scuola potrebbero non essere sempre chiari la prima volta. Ciò è particolarmente vero per una materia come la matematica. Ma tutto diventa molto più complicato quando questa scienza comincia a dividersi in due parti: algebra e geometria.

Ogni studente può avere abilità in una delle due aree, ma soprattutto nelle classi elementari è importante comprendere le basi sia dell'algebra che della geometria. In geometria, uno degli argomenti principali è considerata la sezione sui triangoli.

Come trovare la linea mediana di un triangolo? Scopriamolo.

Concetti basilari

Per cominciare, per capire come trovare la linea mediana di un triangolo, è importante capire di cosa si tratta.

Non ci sono restrizioni nel tracciare la linea mediana: il triangolo può essere qualsiasi cosa (isoscele, equilatero, rettangolare). E tutte le proprietà relative alla linea di mezzo saranno effettive.

La linea mediana di un triangolo è un segmento che collega i punti medi dei suoi 2 lati. Pertanto, qualsiasi triangolo può avere 3 di queste linee.

Proprietà

Per sapere come trovare la linea mediana di un triangolo, designiamo le sue proprietà che devono essere ricordate, altrimenti senza di esse sarà impossibile risolvere problemi con la necessità di designare la lunghezza della linea mediana, poiché tutti i dati ottenuti devono essere comprovati e discusso con teoremi, assiomi o proprietà.

Quindi, per rispondere alla domanda: “Come trovare la linea mediana del triangolo ABC?”, è sufficiente conoscere uno dei lati del triangolo.

Facciamo un esempio

Dai un'occhiata alla foto. Mostra il triangolo ABC con la linea mediana DE. Nota che nel triangolo è parallelo alla base AC. Pertanto, qualunque sia il valore di AC, la linea media DE sarà grande la metà. Ad esempio, AC=20 significa DE=10, ecc.

In questi semplici modi puoi capire come trovare la linea mediana di un triangolo. Ricorda le sue proprietà e definizioni di base, e poi non avrai mai problemi a trovarne il significato.

La linea mediana di un triangolo è un segmento che collega i punti medi dei suoi 2 lati. Di conseguenza, ogni triangolo ha tre linee centrali. Conoscendo la qualità della linea mediana, nonché la lunghezza dei lati del triangolo e dei suoi angoli, puoi determinare la lunghezza della linea mediana.

Avrai bisogno

• Lati di un triangolo, angoli di un triangolo

Istruzioni

1. Sia nel triangolo ABC MN la linea mediana che collega i punti medi dei lati AB (punto M) e AC (punto N). Per proprietà, la linea mediana di un triangolo che collega i punti medi di 2 lati è parallela al terzo lato e uguale alla metà di. Esso. Ciò significa che la linea mediana MN sarà parallela al lato BC e uguale a BC/2 Di conseguenza, per determinare la lunghezza della linea mediana del triangolo, è sufficiente conoscere la lunghezza del lato di questo particolare terzo lato.

2. Conosciamo ora i lati, i cui punti medi sono uniti dalla linea mediana MN, cioè AB e AC, e l'angolo BAC tra loro. Poiché MN è la linea di mezzo, allora AM = AB/2 e AN = AC/2 Quindi, secondo il teorema del coseno, oggettivamente: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Quindi, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Se si conoscono i lati AB e AC, conoscendo l'angolo ABC o ACB si può trovare la linea mediana MN. Diciamo che l'angolo ABC è famoso. Poiché secondo la proprietà della linea mediana MN è parallela a BC, allora gli angoli ABC e AMN sono corrispondenti e, di conseguenza, ABC = AMN. Quindi, per il teorema del coseno: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Di conseguenza, il lato MN può essere trovato dall'equazione quadratica (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

Suggerimento 2: come trovare il lato di un triangolo quadrato

Un triangolo quadrato è più correttamente chiamato triangolo rettangolo. Le relazioni tra i lati e gli angoli di questa figura geometrica sono discusse in dettaglio nella disciplina matematica della trigonometria.

Avrai bisogno

• - carta;
• - penna;
• – Tavoli Bradis;
• - calcolatrice.

Istruzioni

1. Scoprire lato rettangolare triangolo con il supporto del teorema di Pitagora. Secondo questo teorema il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti: c2 = a2+b2, dove c è l'ipotenusa triangolo, aeb sono le sue gambe. Per applicare questa equazione, devi conoscere la lunghezza di 2 lati qualsiasi di un rettangolo triangolo .

2. Se le condizioni specificano le dimensioni dei cateti, trova la lunghezza dell'ipotenusa. Per fare ciò, utilizzando una calcolatrice, estrai la radice quadrata della somma delle gambe e quadra ciascuna di esse in anticipo.

3. Calcola la lunghezza di uno dei cateti se conosci le dimensioni dell'ipotenusa e dell'altro cateto. Utilizzando una calcolatrice, estrai la radice quadrata della differenza tra l'ipotenusa al quadrato e il cateto principale anch'esso al quadrato.

4. Se il problema specifica l'ipotenusa e uno degli angoli acuti ad essa adiacenti, utilizzare le tabelle Bradis. Forniscono i valori delle funzioni trigonometriche per un gran numero di angoli. Utilizza una calcolatrice con funzioni seno e coseno, nonché teoremi di trigonometria che descrivono le relazioni tra i lati e gli angoli di un rettangolo triangolo .

5. Trova le gambe utilizzando le funzioni trigonometriche di base: a = c*sin?, b = c*cos?, dove a è la gamba opposta all'angolo?, b è la gamba adiacente all'angolo?. Calcolare allo stesso modo la misura dei lati triangolo, se sono dati l'ipotenusa e un altro angolo acuto: b = c*sin?, a = c*cos?, dove b è il cateto opposto all'angolo?, e il cateto è adiacente all'angolo?.

6. Nel caso in cui prendiamo il cateto a e l'angolo acuto ad esso adiacente?, non dimenticare che in un triangolo rettangolo la somma degli angoli acuti è invariabilmente uguale a 90°: ? +? = 90°. Trova il valore dell'angolo opposto alla gamba a: ? = 90° – ?. Oppure utilizzare formule di riduzione trigonometriche: peccato? = sin (90° – ?) = cos ?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. Se abbiamo il cateto a e l'angolo acuto opposto ad esso?, utilizzando le tabelle di Bradis, una calcolatrice e le funzioni trigonometriche, calcoliamo l'ipotenusa utilizzando la formula: c=a*sin?, cateto: b=a*tg?.

Video sull'argomento

Come trovare il punto medio di un triangolo: un problema di geometria. I principali problemi elementari della geometria euclidea ci sono pervenuti dall'antichità. Contengono l'essenza primaria stessa e la necessaria conoscenza di base sulla percezione umana delle forme spaziali. Uno di questi problemi è quello di trovare il punto medio di un triangolo. Oggi questo problema è considerato una tecnica educativa per sviluppare le capacità intellettuali degli scolari. Nel mondo antico, la conoscenza di come trovare il centro di un triangolo veniva utilizzata anche nella pratica: nella gestione del territorio, nella fabbricazione di vari meccanismi, ecc. Qual è l'essenza di questo rebus geometrico?

Qual è la mediana? Prima di risolvere il problema, è necessario familiarizzare con la terminologia geometrica più semplice relativa ai triangoli. Innanzitutto ogni triangolo ha tre vertici, tre lati e tre angoli, da cui deriva il nome di questa figura geometrica. È importante sapere come si chiamano le linee che collegano i vertici ai lati opposti: altezza, bisettrice e mediana.

L'altezza è una linea perpendicolare al lato opposto al vertice da cui si traccia; bisettrice: divide un angolo a metà; La mediana divide a metà il lato opposto al vertice uscente. Per risolvere questo problema, devi sapere come trovare le coordinate del punto medio di un segmento, perché è il punto di intersezione delle mediane del triangolo che ne è il punto medio.

Trova i punti medi dei lati del triangolo. Trovare il punto medio di un segmento è anche un classico problema geometrico, per risolverlo avrai bisogno di un compasso e di un righello senza divisioni. Posizioniamo l'ago del compasso nel punto finale del segmento e disegniamo un semicerchio più grande della metà del segmento al centro di quest'ultimo. Facciamo lo stesso dall'altra parte del segmento. I semicerchi risultanti si intersecheranno necessariamente in due punti, perché i loro raggi sono maggiori della metà del segmento originale.

Colleghiamo i due punti di intersezione del cerchio con una linea retta utilizzando un righello. Questa linea interseca il segmento originale esattamente al centro. Ora, sapendo come trovare il centro di un segmento, lo facciamo con ciascun lato del triangolo. Dopo aver trovato tutti i punti medi dei lati del triangolo, sei pronto per costruire il proprio punto medio.

Costruiamo il centro del triangolo. Collegando con rette i vertici del triangolo con i punti medi dei lati opposti si ottengono tre mediane. Ciò potrebbe sorprendere alcuni, ma una delle leggi dell'armonia di questa figura geometrica è che tutte e tre le mediane si intersecano sempre in un punto. È questo punto che sarà il punto medio desiderato del triangolo, che non è così difficile da trovare se sai come costruire il punto medio del segmento.

È anche interessante notare che il punto di intersezione delle mediane rappresenta non solo il centro geometrico, ma anche quello “fisico” del triangolo. Cioè, se, ad esempio, tagli un triangolo dal compensato, trovi il suo centro e metti questo punto sulla punta dell'ago, idealmente una figura del genere si bilancerà e non cadrà. La geometria elementare contiene molti "segreti" così affascinanti, la cui conoscenza aiuta a comprendere l'armonia del mondo circostante e la natura delle cose più complesse.

Il concetto di linea mediana di un triangolo

Introduciamo il concetto di linea mediana di un triangolo.

Definizione 1

Questo è un segmento che collega i punti medi di due lati di un triangolo (Fig. 1).

Figura 1. Linea mediana del triangolo

Teorema della linea mediana del triangolo

Teorema 1

La linea mediana di un triangolo è parallela ad uno dei suoi lati ed è uguale alla metà di esso.

Prova.

Diamo un triangolo $ABC$. $MN$ è la linea di mezzo (come nella Figura 2).

Figura 2. Illustrazione del Teorema 1

Poiché $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, allora i triangoli $ABC$ e $MBN$ sono simili secondo il secondo criterio di somiglianza dei triangoli . Significa

Inoltre, ne consegue che $\angle A=\angle BMN$, che significa $MN||AC$.

Il teorema è dimostrato.

Corollari del teorema della linea mediana del triangolo

Corollario 1: Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto e sono divise per il punto di intersezione nel rapporto $2:1$ a partire dal vertice.

Prova.

Considera il triangolo $ABC$, dove $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sono le sue mediane. Poiché le mediane dividono i lati a metà. Consideriamo la linea mediana $A_1B_1$ (Fig. 3).

Figura 3. Illustrazione del Corollario 1

Per il Teorema 1, $AB||A_1B_1$ e $AB=2A_1B_1$, quindi, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Ciò significa che i triangoli $ABM$ e $A_1B_1M$ sono simili secondo il primo criterio di somiglianza dei triangoli. Poi

Allo stesso modo, è dimostrato

Il teorema è dimostrato.

Corollario 2: Le tre linee mediane del triangolo lo dividono in 4 triangoli simili al triangolo originale con coefficiente di somiglianza $k=\frac(1)(2)$.

Prova.

Considera un triangolo $ABC$ con linee mediane $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (Fig. 4)

Figura 4. Illustrazione del Corollario 2

Considera il triangolo $A_1B_1C$. Poiché $A_1B_1$ è la linea di mezzo, allora

L'angolo $C$ è l'angolo comune di questi triangoli. Di conseguenza, i triangoli $A_1B_1C$ e $ABC$ sono simili secondo il secondo criterio di somiglianza dei triangoli con coefficiente di somiglianza $k=\frac(1)(2)$.

Allo stesso modo, è dimostrato che i triangoli $A_1C_1B$ e $ABC$, e i triangoli $C_1B_1A$ e $ABC$ sono simili con il coefficiente di similarità $k=\frac(1)(2)$.

Considera il triangolo $A_1B_1C_1$. Poiché $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ sono le linee mediane del triangolo, allora

Pertanto, secondo il terzo criterio di somiglianza dei triangoli, i triangoli $A_1B_1C_1$ e $ABC$ sono simili con un coefficiente di somiglianza $k=\frac(1)(2)$.

Il teorema è dimostrato.

Esempi di problemi sul concetto di linea mediana di un triangolo

Esempio 1

Dato un triangolo con lati $16$ cm, $10$ cm e $14$ cm Trova il perimetro del triangolo i cui vertici si trovano nei punti medi dei lati del triangolo dato.

Soluzione.

Poiché i vertici del triangolo desiderato si trovano nei punti medi dei lati del triangolo dato, i suoi lati sono le linee mediane del triangolo originale. Per il Corollario 2, troviamo che i lati del triangolo desiderato sono pari a $8$ cm, $5$ cm e $7$ cm.

Risposta:$20$ vedi

Esempio 2

Dato un triangolo $ABC$. I punti $N\ e\M$ sono rispettivamente i punti medi dei lati $BC$ e $AB$ (Fig. 5).

Figura 5.

Il perimetro del triangolo $BMN=14$ cm Trova il perimetro del triangolo $ABC$.

Soluzione.

Poiché $N\ e\M$ sono i punti medi dei lati $BC$ e $AB$, allora $MN$ è la linea mediana. Significa

Per il Teorema 1, $AC=2MN$. Noi abbiamo: