Математична модель двофазного синхронного двигуна з постійними магнітами. Математична модель синхронних і асинхронних двигунів «Карти і схеми в фонді Президентської бібліотеки»

Принципові відмінності між синхронним двигуном (СД) і СГ складаються в протилежному напрямку електромагнітного й електромеханічного моментів, а також в фізичної сутності останнього, який для СД є моментом опору Мс приводиться механізму (ПМ). Крім цього, деякі відмінності і відповідна специфіка є в СВ. Таким чином, у розглянутій універсальної математичної моделі СГ математична модель ПД замінюється математичною моделлю ПМ, математична модель СВ для СГ замінюється на відповідну математичну модель СВ для СД, а також забезпечується вказане формування моментів в рівнянні руху ротора, то універсальна математична модель СГ перетворюється в універсальну математичну модель СД.

Для перетворення універсальної математичної моделі СД в аналогічну модель асинхронного двигуна (АД) передбачається можливість обнулення напруги збудження в рівнянні роторного контуру двигуна, що використовується для моделювання обмотки збудження. Крім того, якщо відсутня будь-яка несиметрія роторних контурів, то їх параметри задаються симетрично для рівнянь роторних контурів по осях d і q. Таким чином, при моделюванні АД з універсальної математичної моделі СД виключається обмотка збудження, а в іншому їх універсальні математичні моделі ідентичні.

В результаті, для створення універсальної математичної моделі СД, і відповідно АД, необхідно синтезувати універсальну математичну модель ПМ і СВ для СД.

Згідно з найбільш поширеною і апробованої математичною моделлю безлічі різних ПМ є рівняння моментно-швидкісної характеристики виду:

де т поч - початковий статистичний момент опору ПМ; / І ном - номінальний момент опору, що розвивається ПМ при номінальному обертального моменту електродвигуна, відповідному його номінальної активної потужності і синхронної номінальній частоті зі 0 \u003d 314 с 1; о) д - фактична частота обертання ротора електродвигуна; зі ді - номінальна частота обертання ротора електродвигуна, при якій момент опору ПМ дорівнює поминального, що отримується при синхронній номінальній частоті обертання електромагнітного нуля статора зі 0; р - показник ступеня, що залежить від виду ПМ, що приймається найчастіше рівним р \u003d 2 або р -1.

Для довільної завантаження ПМ СД або АТ, яка визначається коефіцієнтів завантаження k. t \u003d Р / Р ної і довільної частоти мережі © з Ф зі 0, а також для базисного моменту m s \u003d M HOM / cosq\u003e H, який відповідає номінальної потужності і базисної частоті зі 0, наведене рівняння в відносних одиницях має вигляд

m m co "зі ™

де M c - -; m CT \u003d -; co \u003d ^ -; co H \u003d - ^ -.

m s "« Іом "o" o

Після введення позначень і відповідних перетворень, рівняння набуває вигляду

де M CJ \u003d m CT -k 3 - coscp H - статична (частотно-незалежна) частину

(L-m CT)? -coscp

моменту опору ПМ; т ш \u003d--со "- динамічної

кевкаючи (частотно-незалежна) частину моменту опору ПМ, в кото рій

Зазвичай вважають, що для більшості ПМ частотно-залежна складова має лінійну або квадратичну залежність від с. Однак відповідно до статечна апроксимація з дробовим показником ступеня є більш достовірною для цієї залежності. З урахуванням цього факту, апроксимує вираз для А / ю -з р має вигляд

де а - коефіцієнт, який визначається виходячи з необхідної статечної залежності розрахунковим або графічним шляхом.

Універсальність розробленої математичної моделі СД або АТ забезпечується за рахунок автоматизованої або автоматичної керованості М ст, а також М ш і р за допомогою коефіцієнта а.

Використовувані СВ СД мають багато спільного з СВ СГ, а основні відмінності полягають:

• в наявності зони нечутливості каналу АРВ по відхиленню напруги статора СД;
• АРВ по току збудження і АРВ з компаундированием різного типу відбувається в основному аналогічно подібним СВ СГ.

Оскільки в режимах роботи СД є своя специфіка, то для АРВ СД необхідні спеціальні закони:

• забезпечення сталості відносин реактивної і активної потужностей СД, званого АРВ на сталість заданого коефіцієнта потужності cos (p \u003d const (або cp \u003d const);
• АРВ, що забезпечує заданий сталість реактивної потужності Q \u003d const СД;
• АРВ по внутрішньому куті навантаження 0 і його похідних, яке зазвичай замінюється менш ефективним, але більш простим АРВ по активної потужності СД.

Таким чином, розглянута раніше універсальна математична модель СВ СГ може служити основою для побудови універсальної математичної моделі СВ СД після внесення необхідних змін відповідно до зазначених відмінностями.

Для реалізації зони нечутливості каналу АРВ по відхиленню напруги статора СД досить на виході суматора (див. Рис. 1.1), на якому формується д U, включити ланка керованої нелінійності виду зони нечутливості і обмеження. Заміна в універсальної математичної моделі СВ СГ змінних відповідними змінними регулювання названих спеціальних законів АРВ СД повністю забезпечує їх адекватне відтворення, а серед згаданих змінних Q, ф, Р, 0, обчислення активної і реактивної потужностей здійснюється рівняннями, передбаченими в універсальної математичної моделі СГ: P \u003d U До м? i q? + U d? До м? i d,

Q \u003d U q - До м? I d - + U d? До м? i q. Для обчислення змінних ф і 0, також

необхідних для моделювання зазначених законів АРВ СД, застосовуються рівняння:

Шановні читачі! C 18.11.2019 р по 17.12.2019 р нашому університету надано безкоштовний тестовий доступ до нової унікальної колекції в ЕБС «Лань»: «Військова справа».
ключовою особливістю даної колекції є освітній матеріал від декількох видавництв, підібраний спеціально з військової тематики. Колекція включає книги від таких видавництв, як: «Лань», «Инфра-Інженерія», «Нове знання», Російський державний університет правосуддя, МГТУ ім. Н. Е. Баумана, і деяких інших.

Тестовий доступ до Електронно-бібліотечної системи IPRbooks

Шановні читачі! C 08.11.2019 р по 31.12.2019 р нашому університету надано безкоштовний тестовий доступ до найбільшої російської повнотекстової бази даних - Електронно-бібліотечної системи IPR BOOKS. ЕБС IPR BOOKS містить понад 130 000 видань, з яких більше 50 000 - унікальні навчальні і наукові видання. На платформі Вам доступні актуальні книги, які неможливо знайти у відкритому доступі в мережі Інтернет.

Доступ можливий з усіх комп'ютерів мережі університету.

«Карти і схеми в фонді Президентської бібліотеки»

Шановні читачі! 13 листопада о 10:00 бібліотека ЛЕТІ в рамках договору про співпрацю з Президентської бібліотекою ім.Б.Н.Ельціна запрошує співробітників і студентів Університету взяти участь в конференції-вебінарі «Карти і схеми в фонді президентської бібліотеки». Захід буде проходити в форматі трансляції в читальному залі відділу соціально-економічної літератури бібліотеки ЛЕТІ (5 корпус пом.5512).

Синхронний двигун є трифазної електричної машиною. Ця обставина ускладнює математичний опис динамічних процесів, так як зі збільшенням числа фаз зростає число рівнянь електричної рівноваги, і ускладнюються електромагнітні зв'язку. Тому зведемо аналіз процесів в трифазній машині до аналізу тих же процесів в еквівалентній двухфазной моделі цієї машини.

У теорії електричних машин доведено, що будь-яка багатофазна електрична машина з n-фазной обмоткою статора і m-фазной обмоткою ротора за умови рівності повних опорів фаз статора (ротора) в динаміці може бути представлена \u200b\u200bдвухфазной моделлю. Можливість такої заміни створює умови для отримання узагальненого математичного опису процесів електромеханічного перетворення енергії в обертовій електричної машині на основі розгляду ідеалізованого двухфазного електромеханічного перетворювача. Такий перетворювач отримав назву узагальненої електричної машини (ОЕМ).

Узагальнена електрична машина.

ОЕМ дозволяє уявити динаміку реального двигуна, Як в нерухомій, так і під обертається системах координат. Остання вистава дає можливість значно спростити рівняння стану двигуна і синтез управління для нього.

Введемо змінні для ОЕМ. Належність змінної тій чи іншій обмотці визначається індексами, якими позначені осі, пов'язані з обмотками узагальненої машини, із зазначенням відносини до статора 1 або ротора 2, як показано на рис. 3.2. На цьому малюнку система координат, жорстко пов'язана з нерухомим статором, позначена,, з обертовим ротором -,, - електричний кут повороту.

Мал. 3.2. Схема узагальненої двополюсної машини

Динаміку узагальненої машини описують чотири рівняння електричної рівноваги в ланцюгах її обмоток і одне рівняння електромеханічного перетворення енергії, яке виражає електромагнітний момент машини як функцію електричних і механічних координат системи.

Рівняння Кірхгофа, виражені через потокозчеплення, мають вигляд

(3.1)

де і - активний опір фази статора і наведене активний опір фази ротора машини, відповідно.

Потокосцепление кожної обмотки в загальному вигляді визначається результуючим дією струмів всіх обмоток машини

(3.2)

В системі рівнянь (3.2) для власних і взаємних індуктивностей обмоток прийнято однакове позначення з підрядковим індексом, перша частина якого , Вказує, в якій обмотці наводиться ЕРС, а друга - струмом який обмотки вона створюється. Наприклад, - власна індуктивність фази статора; - взаємна індуктивність між фазою статора і фазою ротора і т. П.

Прийняті в системі (3.2) позначення і індекси забезпечують однотипність всіх рівнянь, що дозволяє вдатися до зручної для подальшого викладу узагальненій формі записи цієї системи

(3.3)

При роботі ОЕМ взаємне положення обмоток статора і ротора змінюється, тому власні і взаємні індуктивності обмоток в загальному випадку є функцією електричного кута повороту ротора. Для симетричною неявнополюсного машини власні індуктивності обмоток статора і ротора не залежить від положення ротора

а взаємні індуктивності між обмотками статора або ротора дорівнюють нулю

так як магнітні осі цих обмоток зрушені в просторі відносно один одного на кут. Взаємні індуктивності обмоток статора і ротора проходять повний цикл змін при повороті ротора на кут, тому з урахуванням прийнятих на рис. 2.1 напрямків струмів і знака кута повороту ротора можна записати

(3.6)

де - взаємна індуктивність обмоток статора і ротора або коли, тобто при збігу систем координат і. З урахуванням (3.3) рівняння електричної рівноваги (3.1) можна представити у вигляді

, (3.7)

де визначаються співвідношеннями (3.4) - (3.6). Диференціальне рівняння електромеханічного перетворення енергії отримаємо, скориставшись формулою

де - кут повороту ротора,

де - число пар полюсів.

Підставляючи рівняння (3.4) - (3.6), (3.9) в (3.8), отримаємо вираз для електромагнітного моменту ОЕМ

. (3.10)

Двофазна неявнополюсного синхронна машина з постійними магнітами.

Розглянемо електричний двигун в ЕМУР. Він являє собою неявнополюсного синхронну машину з постійними магнітами, так як має велику кількість пар полюсів. У даній машині магніти можуть бути замінені еквівалентною обмоткою збудження без втрат (), підключеної до джерела струму і створює магніторушійних силу (рис.3.3.).

Рис.3.3. Схема включення синхронного двигуна (а) і його двофазна модель в осях (б)

Така заміна дозволяє представити рівняння рівноваги напруг за аналогією з рівняннями звичайної синхронної машини, тому, поклавши і в рівняннях (3.1), (3.2) і (3.10), маємо

(3.11)

(3.12)

Позначимо де - потокозчеплення на пару полюсів. Зробимо заміну (3.9) в рівняннях (3.11) - (3.13), а також продифференцируем (3.12) і підставимо в рівняння (3.11). отримаємо

(3.14)

де - кутова швидкість двигуна; - кількість витків обмотки статора; - магнітний потік одного витка.

Таким чином, рівняння (3.14), (3.15) утворюють систему рівнянь двофазної неявнополюсного синхронної машини з постійними магнітами.

Лінійні перетворення рівнянь узагальненої електричної машини.

Перевагою отриманого в п.2.2. математичного опису процесів електромеханічного перетворення енергії є те, що в якості незалежних змінних в ньому використовуються дійсні струми обмоток узагальненої машини і дійсні напруги їх живлення. Такий опис динаміки системи дає пряме уявлення про фізичні процеси в системі, проте є складним для аналізу.

При вирішенні багатьох завдань значне спрощення математичного опису процесів електромеханічного перетворення енергії досягається шляхом лінійних перетворень вихідної системи рівнянь, при цьому здійснюється заміна дійсних змінних новими змінними за умови збереження адекватності математичного опису фізичного об'єкту. Умова адекватності зазвичай формулюється у вигляді вимоги інваріантності потужності при перетворенні рівнянь. Нововведені змінні можуть бути або дійсними, або комплексними величинами, пов'язаними з реальними змінними формулами перетворення, вид яких повинен забезпечувати виконання умови інваріантності потужності.

Метою перетворення завжди є та чи інша спрощення вихідного математичного опису динамічних процесів: усунення залежності индуктивностей і взаємних індуктивностей обмоток від кута повороту ротора, можливість оперувати синусоидально мінливими змінними, а їх амплітудами і т. П.

Спочатку розглянемо дійсні перетворення, що дозволяють перейти від фізичних змінних, які визначаються системами координат, жорстко пов'язаними зі статором і з ротором красчетним змінним, відповідним системі координат u, v, Що обертається в просторі з довільною швидкістю. Для формального рішення задачі представимо кожну реальну обмотувальної змінну - напруга, струм, потокосцепление - у вигляді вектора, напрям якого жорстко пов'язане з відповідною даній обмотці віссю координат, а модуль змінюється в часі відповідно до змін зображуваної змінної.

Мал. 3.4. Змінні узагальненої машини в різних системах координат

На рис. 3.4 обмотувальні змінні (струми і напруги) позначені в загальному вигляді буквою з відповідним індексом, що відображає приналежність даної змінної до певної осі координат, і показано взаємне положення в поточний момент часу осей, жорстко пов'язаних зі статором, осей d, q,жорстко пов'язаних з ротором, і довільної системи ортогональних координат u, v, Що обертаються відносно нерухомого статора зі швидкістю. Покладаються заданими реальні змінні в осях (статор) і d, q (Ротор), відповідні їм нові змінні в системі координат u, v можна визначити як суми проекцій реальних змінних на нові осі.

Для більшої наочності графічні побудови, необхідні для отримання формул перетворення, представлені на рис. 3.4а і 3.4б для статора і ротора окремо. На рис. 3.4а показані осі, пов'язані з обмотками нерухомого статора, і осі u, v, Повернені щодо статора на кут . Складові вектора визначені як проекції векторів і на вісь u, Складові вектора - як проекції тих же векторів на вісь v.Підсумувавши проекції по осях, отримаємо формули прямого перетворення для статорних змінних в наступному вигляді

(3.16)

Аналогічні побудови для роторних змінних представлені на рис. 3.4б. Тут показані нерухомі осі, повернені щодо них на кут осі d, q,пов'язані з ротором машини, повернені щодо роторних осей dі qна кут осі і, v,обертові зі швидкістю і збігаються в кожен момент часу з осями і, vна рис. 3.4а. Порівнюючи рис. 3.4б з рис. 3.4а, можна встановити, що проекції векторів і на і, vаналогічні проекція статорних змінних, але в функції кута. Отже, для роторних змінних формули перетворення мають вигляд

(3.17)

Мал. 3.5. Перетворення змінних узагальненої двухфазной електричної машини

Для пояснення геометричного сенсу лінійних перетворень, здійснюваних за формулами (3.16) і (3.17), на рис. 3.5 виконані додаткові побудови. Вони показують, що в основі перетворення лежить уявлення змінних узагальненої машини у вигляді векторів і. Як реальні змінні і, так і перетворені і є проекціями на відповідні осі одного і того ж результуючого вектора. Аналогічні співвідношення справедливі і для роторних змінних.

При необхідності переходу від перетворених змінних до реальних змінним узагальненої машини використовуються формули зворотного перетворення. Їх можна отримати за допомогою побудов, виконаних на рис. 3.5а і 3.5баналогічно побудов на рис. 3.4а і 3.4б

(3.18)

Формули прямого (3.16), (3.17) і зворотного (3.18) перетворень координат узагальненої машини використовуються при синтезі управлінь для синхронного двигуна.

Перетворимо рівняння (3.14) до новій системі координат. Для цього підставимо вирази змінних (3.18) в рівняння (3.14), отримаємо

(3.19)

Для опису електричних машин змінного струму використовуються різні модифікації систем диференційних рівнянь, вид яких залежить від вибору виду змінних (фазні, перетворені), напрями векторів змінних, вихідного режиму (руховий, генераторний) і ряду інших чинників. Крім того, вид рівнянь залежить від прийнятих при їх виведенні припущень.

Мистецтво математичного моделювання полягає в тому, щоб з багатьох методів, які можуть бути застосовані, і чинників, що впливають на перебіг процесів, вибрати такі, які забезпечать необхідну точність і простоту виконання поставленого завдання.

Як правило, при моделюванні електричної машини змінного струму реальну машину замінюють ідеалізованої, що має чотири основні відмінності від реальної: 1) відсутність насичення магнітних кіл; 2) відсутність втрат в сталі і витіснення струму в обмотках; 3) синусоидальное розподіл в просторі кривих намагнічують сил і магнітних індукції; 4) незалежність індуктивних опорів розсіювання від положення ротора і від струму в обмотках. Ці припущення значно спрощують математичний опис електричних машин.

Оскільки осі обмоток статора і ротора синхронної машини при обертанні взаємно переміщаються, магнітна провідність для потоків обмоток стає змінною. Внаслідок цього взаємні індуктивності й індуктивності обмоток періодично змінюються. Тому при моделюванні процесів в синхронної машині за допомогою рівнянь в фазних змінних, фазні змінні U, I,  представляються періодичними величинами, що в значній мірі ускладнює фіксування і аналіз результатів моделювання і ускладнює реалізацію моделі на ЕОМ.

Більш простими і зручними для моделювання є так звані перетворені рівняння Парка-Горєва, які виходять з рівнянь в фазних величинах шляхом спеціальних лінійних перетворень. Суть цих перетворень може бути зрозуміла при розгляді малюнка 1.

Малюнок 1. зображує вектор I і його проекції на осі a, b, c і осі d, q

На цьому малюнку зображено дві системи координатних осей: одна симетрична трилінійна нерухома ( a, b, c) І інша ( d, q, 0 ) - ортогональна, що обертається з кутовою швидкістю ротора . Також на малюнок 1 представлені миттєві значення фазних струмів у вигляді векторів I a , I b , I c . Якщо геометрично скласти миттєві значення фазних струмів, то вийде вектор I, Який буде обертатися разом з ортогональної системою осей d, q. Цей вектор прийнято називати зображує вектором струму. Аналогічні зображують вектори можуть бути отримані і для змінних U,  .

Якщо спроектувати зображують вектори на осі d, q, То вийдуть відповідні поздовжні і поперечні складові зображують векторів - нові змінні, якими в результаті перетворень замінюються фазні змінні струмів, напруг і потокозчеплення.

У той час як фазні величини в сталому режимі періодично змінюються, що зображують вектори будуть постійними і нерухомими щодо осей d, q і, отже, будуть постійними і їх складові I d і I q , U d і U q ,  d і  q .

Таким чином, в результаті лінійних перетворень електрична машина змінного струму представляється як двофазна з перпендикулярно розташованими обмотками по осях d, q, Що виключає взаимоиндукцией між ними.

Негативним фактором перетворених рівнянь є те, що вони описують процеси в машині через фіктивні, а не через фактичні величини. Однак, якщо повернутися до розглянутого вище малюнку 1, то можна встановити, що зворотне перетворення від фіктивних величин до фазним не представляє особливої \u200b\u200bскладності: досить по складовим, наприклад, струму I d і I q обчислити значення зображує вектора

і спроектувати його на будь-яку нерухому фазную вісь з урахуванням кутової швидкості обертання ортогональної системи осей d, q відносно нерухомої (рисунок 1). отримаємо:

,

де  0 - значення початкової фази фазного струму при t \u003d 0.

Система рівнянь синхронного генератора (Парка-Горєва), записана в відносних одиницях в осях d- q, Жорстко пов'язаних з його ротором, має такий вигляд:

;

;

;

;

;

;(1)

;

;

;

;

;

,

де  d,  q,  D,  Q - потокосцепления статорних і заспокійливих обмоток по поздовжній і поперечній осях (d і q);  f, i f, u f - потокосцепление, струм і напруга обмотки збудження; i d, i q, i D, i Q - струми статорних і заспокійливих обмоток по осях d і q; r - активний опір статора; х d, х q, х D, х Q - реактивні опору статорних і заспокійливих обмоток по осях d і q; x f - реактивний опір обмотки збудження; x ad, x aq - опору взаємоіндукції статора по осях d і q; u d, u q - напруги по осях d і q; T do - постійна часу обмотки збудження; T D, T Q - постійні часу заспокійливих обмоток по осях d і q; Т j - інерційна постійна часу дизель-генератора; s - відносна зміна частоти обертання ротора генератора (ковзання); m кр, m сг - крутний момент приводного двигуна і електромагнітний момент генератора.

У рівняннях (1) враховані всі суттєві електромагнітні і механічні процеси в синхронній машині, обидві заспокійливі обмотки, тому їх можна назвати повними рівняннями. Однак, відповідно до прийнятого раніше допущенням, кутова швидкість обертання ротора СГ при дослідженні електромагнітних (бистропротекающих) процесів приймається незмінною. Також допустимо враховувати заспокійливу обмотку тільки по поздовжній осі "d". З урахуванням цих припущень система рівнянь (1) прийме наступний вигляд:

;

;

;

; (2)

;

;

;

;

.

Як видно з системи (2), число змінних в системі рівнянь більше числа рівнянь, що не дозволяє при моделюванні використовувати в прямому вигляді цю систему.

Більш зручною і працездатною є перетворена система рівнянь (2), що має такий вигляд:

;

;

;

;

;

; (3)

;

;

;

;

.